Chủ đề này có 2 trả lời

[nguyenhien2000]

Chứng minh:

     $C_{21}^{10}\textrm{}=C_{9}^{9}\textrm{}+C_{10}^{9}\textrm{}+...+C_{20}^{9}\textrm{}$

[chanhquocnghiem]

Chứng minh:

     $C_{21}^{10}\textrm{}=C_{9}^{9}\textrm{}+C_{10}^{9}\textrm{}+...+C_{20}^{9}\textrm{}$

Ta chứng minh công thức tổng quát :

$\sum_{k=p}^{q}C_k^p=C_p^p+C_{p+1}^p+C_{p+2}^p+...+C_q^p=C_{q+1}^{p+1}$ (*)

Đặt vế trái của (*) là $S$, ta có :

$(p+1)!S=(p+1)!C_p^p+(p+1)!C_{p+1}^p+(p+1)!C_{p+2}^p+...+(p+1)!C_q^p$

$(p+1)!C_p^p=1.2.3...(p+1)$

$(p+1)!C_{p+1}^p=(p+1)\left [ 2.3.4...(p+1) \right ]=(p+2)\left [ 2.3.4...(p+1) \right ]-1.\left [ 2.3.4...(p+1) \right ]=2.3.4...(p+2)-1.2.3...(p+1)$

$(p+1)!C_{p+2}^p=(p+1)\left [ 3.4.5...(p+2) \right ]=(p+3)\left [ 3.4.5...(p+2) \right ]-2.\left [ 3.4.5...(p+2) \right ]=3.4.5...(p+3)-2.3.4...(p+2)$

$(p+1)!C_{p+3}^p=(p+1)\left [ 4.5.6...(p+3) \right ]=(p+4)\left [ 4.5.6...(p+3) \right ]-3.\left [ 4.5.6...(p+3) \right ]=4.5.6...(p+4)-3.4.5...(p+3)$

...............................................................

$(p+1)!C_q^p=(p+1)\left [ (q-p+1)(q-p+2)...q \right ]=(q+1)\left [ (q-p+1)(q-p+2)...q \right ]-(q-p).\left [ (q-p+1)(q-p+2)...q \right ]=(q-p+1)(q-p+2)...(q+1)-(q-p)(q-p+1)...q$

Cộng tất cả lại, vế theo vế $\Rightarrow (p+1)!S=(q-p+1)(q-p+2)...(q+1)=A_{q+1}^{p+1}$

$\Rightarrow S=\frac{A_{q+1}^{p+1}}{(p+1)!}=C_{q+1}^{p+1}$

Cho $p=9$ ; $q=20$, ta có điều phải chứng minh.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 02-12-2016 - 11:39

[nguyenhien2000]

Ta chứng minh công thức tổng quát :

$\sum_{k=p}^{q}C_k^p=C_p^p+C_{p+1}^p+C_{p+2}^p+...+C_q^p=C_{q+1}^{p+1}$ (*)

Đặt vế trái của (*) là $S$, ta có :

$(p+1)!S=(p+1)!A_p^p+(p+1)!A_{p+1}^p+(p+1)!A_{p+2}^p+...+(p+1)!A_q^p$

$(p+1)!A_p^p=1.2.3...(p+1)$

$(p+1)!A_{p+1}^p=(p+1)\left [ 2.3.4...(p+1) \right ]=(p+2)\left [ 2.3.4...(p+1) \right ]-1.\left [ 2.3.4...(p+1) \right ]=2.3.4...(p+2)-1.2.3...(p+1)$

$(p+1)!A_{p+2}^p=(p+1)\left [ 3.4.5...(p+2) \right ]=(p+3)\left [ 3.4.5...(p+2) \right ]-2.\left [ 3.4.5...(p+2) \right ]=3.4.5...(p+3)-2.3.4...(p+2)$

$(p+1)!A_{p+3}^p=(p+1)\left [ 4.5.6...(p+3) \right ]=(p+4)\left [ 4.5.6...(p+3) \right ]-3.\left [ 4.5.6...(p+3) \right ]=4.5.6...(p+4)-3.4.5...(p+3)$

...............................................................

$(p+1)!A_q^p=(p+1)\left [ (q-p+1)(q-p+2)...q \right ]=(q+1)\left [ (q-p+1)(q-p+2)...q \right ]-(q-p).\left [ (q-p+1)(q-p+2)...q \right ]=(q-p+1)(q-p+2)...(q+1)-(q-p)(q-p+1)...q$

Cộng tất cả lại, vế theo vế $\Rightarrow (p+1)!S=(q-p+1)(q-p+2)...(q+1)=A_{q+1}^{p+1}$

$\Rightarrow S=\frac{A_{q+1}^{p+1}}{(p+1)!}=C_{q+1}^{p+1}$

Cho $p=9$ ; $q=20$, ta có điều phải chứng minh.

Còn cách nào khác không bạn, giúp mình với!!!     

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenhien2000: 02-12-2016 - 10:50