Chứng minh:
$C_{21}^{10}\textrm{}=C_{9}^{9}\textrm{}+C_{10}^{9}\textrm{}+...+C_{20}^{9}\textrm{}$
Chứng minh:
$C_{21}^{10}\textrm{}=C_{9}^{9}\textrm{}+C_{10}^{9}\textrm{}+...+C_{20}^{9}\textrm{}$
Chứng minh:
$C_{21}^{10}\textrm{}=C_{9}^{9}\textrm{}+C_{10}^{9}\textrm{}+...+C_{20}^{9}\textrm{}$
Ta chứng minh công thức tổng quát :
$\sum_{k=p}^{q}C_k^p=C_p^p+C_{p+1}^p+C_{p+2}^p+...+C_q^p=C_{q+1}^{p+1}$ (*)
Đặt vế trái của (*) là $S$, ta có :
$(p+1)!S=(p+1)!C_p^p+(p+1)!C_{p+1}^p+(p+1)!C_{p+2}^p+...+(p+1)!C_q^p$
$(p+1)!C_p^p=1.2.3...(p+1)$
$(p+1)!C_{p+1}^p=(p+1)\left [ 2.3.4...(p+1) \right ]=(p+2)\left [ 2.3.4...(p+1) \right ]-1.\left [ 2.3.4...(p+1) \right ]=2.3.4...(p+2)-1.2.3...(p+1)$
$(p+1)!C_{p+2}^p=(p+1)\left [ 3.4.5...(p+2) \right ]=(p+3)\left [ 3.4.5...(p+2) \right ]-2.\left [ 3.4.5...(p+2) \right ]=3.4.5...(p+3)-2.3.4...(p+2)$
$(p+1)!C_{p+3}^p=(p+1)\left [ 4.5.6...(p+3) \right ]=(p+4)\left [ 4.5.6...(p+3) \right ]-3.\left [ 4.5.6...(p+3) \right ]=4.5.6...(p+4)-3.4.5...(p+3)$
...............................................................
$(p+1)!C_q^p=(p+1)\left [ (q-p+1)(q-p+2)...q \right ]=(q+1)\left [ (q-p+1)(q-p+2)...q \right ]-(q-p).\left [ (q-p+1)(q-p+2)...q \right ]=(q-p+1)(q-p+2)...(q+1)-(q-p)(q-p+1)...q$
Cộng tất cả lại, vế theo vế $\Rightarrow (p+1)!S=(q-p+1)(q-p+2)...(q+1)=A_{q+1}^{p+1}$
$\Rightarrow S=\frac{A_{q+1}^{p+1}}{(p+1)!}=C_{q+1}^{p+1}$
Cho $p=9$ ; $q=20$, ta có điều phải chứng minh.
Edited by chanhquocnghiem, 02-12-2016 - 11:39.
...
Ðêm nay tiễn đưa
Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...
Ta chứng minh công thức tổng quát :
$\sum_{k=p}^{q}C_k^p=C_p^p+C_{p+1}^p+C_{p+2}^p+...+C_q^p=C_{q+1}^{p+1}$ (*)
Đặt vế trái của (*) là $S$, ta có :
$(p+1)!S=(p+1)!A_p^p+(p+1)!A_{p+1}^p+(p+1)!A_{p+2}^p+...+(p+1)!A_q^p$
$(p+1)!A_p^p=1.2.3...(p+1)$
$(p+1)!A_{p+1}^p=(p+1)\left [ 2.3.4...(p+1) \right ]=(p+2)\left [ 2.3.4...(p+1) \right ]-1.\left [ 2.3.4...(p+1) \right ]=2.3.4...(p+2)-1.2.3...(p+1)$
$(p+1)!A_{p+2}^p=(p+1)\left [ 3.4.5...(p+2) \right ]=(p+3)\left [ 3.4.5...(p+2) \right ]-2.\left [ 3.4.5...(p+2) \right ]=3.4.5...(p+3)-2.3.4...(p+2)$
$(p+1)!A_{p+3}^p=(p+1)\left [ 4.5.6...(p+3) \right ]=(p+4)\left [ 4.5.6...(p+3) \right ]-3.\left [ 4.5.6...(p+3) \right ]=4.5.6...(p+4)-3.4.5...(p+3)$
...............................................................
$(p+1)!A_q^p=(p+1)\left [ (q-p+1)(q-p+2)...q \right ]=(q+1)\left [ (q-p+1)(q-p+2)...q \right ]-(q-p).\left [ (q-p+1)(q-p+2)...q \right ]=(q-p+1)(q-p+2)...(q+1)-(q-p)(q-p+1)...q$
Cộng tất cả lại, vế theo vế $\Rightarrow (p+1)!S=(q-p+1)(q-p+2)...(q+1)=A_{q+1}^{p+1}$
$\Rightarrow S=\frac{A_{q+1}^{p+1}}{(p+1)!}=C_{q+1}^{p+1}$
Cho $p=9$ ; $q=20$, ta có điều phải chứng minh.
Còn cách nào khác không bạn, giúp mình với!!!
Edited by nguyenhien2000, 02-12-2016 - 10:50.
0 members, 1 guests, 0 anonymous users