Chủ đề này có 1 trả lời

[LETRINHHONGPHUC]

cho tam  giác ABC vuông ở A, $\alpha$ là góc giữa 2 trung tuyến BM, CN. Chứng minh: $sin\alpha \leq \frac{3}{5}$

[tenlamgi]

cho tam  giác ABC vuông ở A, $\alpha$ là góc giữa 2 trung tuyến BM, CN. Chứng minh: $sin\alpha \leq \frac{3}{5}$

Gọi G là giao điểm của BM và CN, ta có$\Rightarrow$G là trọng tâm $\Delta ABC$

$\Rightarrow BG=\frac{2}{3}BM=\frac{2}{3}\sqrt{AB^2+AC^2/4}$

Tương tự:

$GN=\frac{1}{3}CN=\frac{1}{3}\sqrt{AC^2+AB^2/4}$

Xét $\Delta BGN$:

$cos\alpha =\frac{BG^2+GN^2-AB^2/4}{2BG.GN}=\frac{\frac{2}{9}BC^2}{\frac{4}{9}\sqrt{(AB^2+AC^2/4)(AC^2+AB^2/4)}}\geq \frac{\frac{2}{9}BC^2}{\frac{2}{9}(\frac{5}{4}BC^2)}=4/5$

Vì $0< \alpha < \pi \Rightarrow sin\alpha =\sqrt{1-cos^2(\alpha )}\leq 3/5$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $AB=AC$ hay $\Delta ABC$ vuông cân tại A

(Chú ý: $sin(\pi-\alpha )=sin\alpha$)