Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn tâm O. Điểm E thay đổi trên cung nhỏ AB (E khác A và B). Từ B và C lần lượt kẻ các tiếp tuyến với đường tròn (O), các tiếp tuyến này cắt đường thẳng AE theo thứ tự tại M và N. Gọi F là giao điểm của BN và CM
a) Chứng minh rằng $MB.CN=BC^{2}$
b) Khi điểm E thay đổi trên cung nhỏ AB. Chứng minh rằng đường thẳng EF luôn đi qua một điểm cố định
(Trích đề thi TS vào THPT chuyên Toán Hà Tĩnh năm học 2016-2017)
a) Gọi độ dài cạnh tam giác đều là $a,$ ta có $AB//CN,AC//BM$ suy ra $\Delta AMB\sim \Delta NAC(g.g)\Rightarrow \frac{MB}{a}=\frac{a}{NC}\Rightarrow MB.CN=a^2=BC^2$
b) Từ $(a)$ suy ra $\frac{MB}{BC}=\frac{BC}{CN}$ mà $\widehat{MBC}=\widehat{NCB}(=120^{\circ})\Rightarrow \Delta MBC\sim \Delta BCN\Rightarrow \widehat{BMC}=\widehat{NBC}$ suy ra $\widehat{BFM}=\widehat{NBC}+\widehat{BCM}=\widehat{BMC}+\widehat{BCM}=180^{\circ}-\widehat{MBC}=60^{\circ}.$
Mà $\widehat{BFM}=\widehat{ACB}=60^{\circ}\Rightarrow MEFB \;\;\ \text{ nội tiếp}\Rightarrow \widehat{BEF}=\widehat{BMC}=\widehat{NBC}$
Gọi $P=EF\cap BC\Rightarrow \widehat{BEP}=\widehat{FBP}\Rightarrow \Delta EBP\sim \Delta BFP\Rightarrow BP^2=PE.PF$
Chứng minh tương tự, có $CP^2=PE.PF$ suy ra $PB=PC.$
Vậy $EF$ đi qua $P$ là trung điểm của $BC$ cố định.
$\color{red}{\mathrm{\text{How I wish I could recollect, of circle roud}}}$
$\color{red}{\mathrm{\text{The exact relation Archimede unwound ! }}}$
