Bài 1: Một đường tròn nội tiếp $\Delta ABC$ tiếp xúc với $AB, AC$ lần lượt tại $D, E$. Cho điểm $M$ thuộc đoạn $AD, CM$ cắt $DE$ tại $I$.
Cmr: $\frac{IM}{IC}=\frac{DM}{CE}$.
Xét tam giác $AMC$ có $D,I,E$ thẳng hàng
Theo định lý $Menelaus$ ta có:$\frac{IM}{IC}.\frac{EC}{EA}.\frac{DA}{DM}=1\Rightarrow \frac{IM}{IC}=\frac{DM}{CE}$
(vì $AD=AE$)
Bài 2: Cho $(I)$ nội tiếp $\Delta ABC$ tiếp xúc với $BC, AB, AC$ lần lượt tại $D, E, F$. Kẻ đường thẳng qua $E$ song song với $BC$ cắt $AD$ và $DF$ tại $M$ và $N$.
Cmr: $M$ là trung điểm của đoạn $EN$.
$AN$ giao $BC$ tại $K$
Xét tam giác $AKB$ có $N,F,D$ thẳng hàng
Theo định lý $Menelaus$ ta có:$\frac{DB}{DK}.\frac{NK}{NA}.\frac{FA}{FB}=1\Rightarrow \frac{DB}{DK}.\frac{EC}{EA}.\frac{FA}{FB}=1$
Xét tam giác $ABC$ theo định lý $Ceva$ ta có:$\frac{DC}{DB}.\frac{FB}{FA}.\frac{EA}{EC}=1$
từ đó suy ra $DC=DK$
theo định lý $Talet$ suy ra đpcm