Tính giới hạn $\lim_{x \to 0} \frac{2(\cos x-1)+x^2}{x^4}$
(không dùng đạo hàm)
Tính giới hạn $\lim_{x \to 0} \frac{2(\cos x-1)+x^2}{x^4}$
(không dùng đạo hàm)
Tính giới hạn $\lim_{x \to 0} \frac{2(\cos x-1)+x^2}{x^4}$
(không dùng đạo hàm)
Ta có
$$\frac{2(\cos x-1)+x^2}{x^4}=\frac{x^2-4\sin^2(x/2)}{x^4}=\frac{x-2\sin(x/2)}{x^3}\frac{x+2\sin(x/2)}{x}.$$
Có lẽ được phép dùng các đánh giá sau (?):
$$-\frac{t^3}{6}+t\le \sin t \le t-\frac{t^3}{6}+ \frac{t^5}{120}\le t \forall t\in (0, \pi/2).$$
Suy ra
$$\lim_{x\to 0^{+}}\frac{x-2\sin(x/2)}{x^3}=\frac{1}{24},$$
và
$$\lim_{x\to 0^{+}}\frac{x+2\sin(x/2)}{x}=2.$$
Tương tự, tính được các giới hạn bên trái và đi đến kết luận
$$\lim_{x \to 0} \frac{2(\cos x-1)+x^2}{x^4}=\frac{1}{12}.$$
P.S: Chứng minh BĐT phụ phải dùng đến "đạo hàm"!!!
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vanchanh123: 26-01-2017 - 09:24
Đời người là một hành trình...
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh