bổ đề 1 (định lí leon anne) http://www.cut-the-k...onTheorem.shtml
bổ đề 2: đường thẳng Gauss vuông với đường steiner trong tứ giác http://jl.ayme.pages... de Steiner.pdf
ngoài cách trên ta có thể chứng minh bổ đề 2 bằng cách chỉ ra đường thẳng Steiner là trục đẳng phương của 2 đường tròn có đường kính là 2 đường chéo của tứ giác
bổ đề 3: $I'$ thuộc đường nối trực tâm của tam giác $ABC$ và trực tam giác $AEF$
chứng minh
gọi trực tâm của $ABC$ là $K$, mà ta có bài toán là phần giác góc $KHI$ là $HD$ vậy $I'$ thuộc $HK$, trực tâm của tam giác $AEF$ là điểm chính giữa cung $EF$ của (I) gọi là điểm $J$ thì $HJ$ đối xứng $HI$ qua $EF$ suy ra $HJ$ là phân giác ngoài của góc $KHI$ suy ra $J,H,K$ thẳng suy ra $I'$ thuộc $KJ$
quay lại bài toán
ta gọi trung điểm của hình chiếu của $I$, $N$ lên $EF$ là $L,X$ thì đễ thấy $LI=2NX$ vậy $S[NEF]+S[NBC]=\frac{1}{2}S[IEF]+S[IBC]=\frac{1}{2}[S[IEF]+S[BCEF]]=\frac{1}{2}S[BCEF]$ vậy theo bổ đề 1 $N$ thuộc đường thẳng Gauss của tứ giác $BCEF$ mà $M$ là trung điểm của $PA$ nên $MN$ là đường thẳng Gauss của tứ giác $BCEF$ mà theo bổ đề 3 ta có $I'$ thuộc đường thẳng Steiner của tứ giác $BCEF$ vậy theo bổ đề 2 ta có $I'D$ vuông $MN$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NHN: 17-01-2017 - 07:48