6 replies to this topic

[tuyen1481999]

 

 

Edited by Baoriven, 24-01-2017 - 20:48.

[tritanngo99]

Mình xin gõ lại cho mọi người tiện theo dõi:

Bài 1: Cho $a,b,c>0$. Tìm GTNN của biểu thức:

$P=\frac{1344}{a+\sqrt{ab}+\sqrt[3]{abc}}-\frac{2016}{\sqrt{a+b+c}}$.

Bài 2: Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn: $a^2+b^2+c^2=4$. Tìm GTNN của biểu thức:

$P=\frac{\sqrt{3}a}{b^2+c^2}+\frac{\sqrt{3}b}{c^2+a^2}+\frac{\sqrt{3}c}{a^2+b^2}$.

Bài 3: Cho $a,b,c>0$. Tìm GTLN của biểu thức:

$P=\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2+c^2+1}}-\frac{2}{(a+1)(b+1)(c+1)}$

[Baoriven]

Ta có: $a+\sqrt{ab}+\sqrt[3]{abc}\leq a+\frac{a+4b}{4}+\frac{a+4b+6c}{12}=\frac{4}{3}(a+b+c)$.

Tới đây bản chỉ cần Đặt $t=a+b+c$.

Rồi tìm GTNN của $f(t)=\frac{4}{3}t-\frac{2016}{\sqrt{t}}$.

[Trinm]

Bài 2 : Ta có $2a^{2}=\frac{1}{4}a^{2}(2a^{2}+2b^{2}+2c^{2})$

                                 =$\frac{1}{4}[2a^{4}+a^{2}(b^{2}+c^{2})+a^{2}(b^{2}+c^{2})]$

                                 $\geq \frac{1}{4}.3\sqrt[3]{2a^{4}.a^{2}.a^{2}.(b^{2}+c^{2})^{2}}$

=> $8a^{6}\geq \frac{27}{32}a^{8}.(b^{2}+c^{2})^2$

<=>$1\geq \frac{27}{256}a^{2}(b^{2}+c^{2})^{2}$

<=>$\frac{1}{(b^{2}+c^{2})^2}\geq \frac{27}{256}a^{2}$

<=> ... <=> $\frac{a}{b^{2}+c^{2}}\geq \frac{3\sqrt{3}}{16}a^{2}$

Chứng minh tương tự, ta suy ra :

$P \geq \frac{9}{16}(a^{2}+b^{2}+c^{2}) = \frac{9}{4}$

Dấu bằng xảy ra ...

[tritanngo99]

Lời giải bài 3: Ta có: $a^2+b^2+c^2+1\ge \frac{1}{4}(a+b+c+1)^2$.

$(a+1)(b+1)(c+1)\le \frac{1}{27}(a+b+c+3)^3$.

$\implies P\le \frac{2}{a+b+c+1}-\frac{54}{(a+b+c+3)^3}$.

Đến đặt $t=a+b+c+1$ và khảo sát hàm số là xong.

[tuyen1481999]

Cám ơn các bạn và xin lỗi mod vì mình vi phạm.

Các bạn có thể chỉ mình làm sao mà các bạn nghĩ đến hướng giải quyết đó không ?

[tuyen1481999]

Ta có: $a+\sqrt{ab}+\sqrt[3]{abc}\leq a+\frac{a+4b}{4}+\frac{a+4b+6c}{12}=\frac{4}{3}(a+b+c)$.

Tới đây bản chỉ cần Đặt $t=a+b+c$.

Rồi tìm GTNN của $f(t)=\frac{4}{3}t-\frac{2016}{\sqrt{t}}$.

Sao có cái này ạ : Ta có: $a+\sqrt{ab}+\sqrt[3]{abc}\leq a+\frac{a+4b}{4}+\frac{a+4b+6c}{12}=\frac{4}{3}(a+b+c)$.

Ý em là sao anh biết biến đổi về dạng đó ạ 

Edited by tuyen1481999, 27-01-2017 - 14:30.