mọi người giúp mk với ạ ! thank all
dùng tích phân để tính giới hạn
#1
Đã gửi 24-02-2017 - 21:59
#2
Đã gửi 24-02-2017 - 23:07
mọi người giúp mk với ạ ! thank all
Bài 1:
Đặt $u_n= \frac{1}{n} \sqrt[n]{\prod_{k=1}^n (n+k)}$ với $n \in \mathbb{N}.$
Khi đó $u_n= \sqrt[n]{\prod_{k=1}^n \left(1+\frac{1}{n}\right)}.$
Và $\ln u_n = \frac{1}{n} \left( \sum_{k=1}^n \ln{\left(1+\frac{k}{n}\right)}\right).$
Dùng tổng Riemann, ta suy ra $\lim \ln u_n = \int_0^1 \ln{(1+x)}dx=2\ln2-1.$
Vì thế $\lim u_n =\frac{4}{e}.$
Đời người là một hành trình...
#3
Đã gửi 24-02-2017 - 23:24
mọi người giúp mk với ạ ! thank all
Bài 2 (Câu b)
"Nếu" bỏ cái $\sin$ thì ta dễ dàng dùng tích phần để chỉ ra
$\lim u_n= \int_0^1 \frac{1}{1+x^2}dx= \frac{\pi}{4},$
trong đó $u_n= \sum_{k=1}^n \frac{n}{n^2+k^2}.$
Đặt $v_n = \sum_{k=1}^n\left( \frac{n}{n^2+k^2}\right)^3.$
Dễ thấy $\lim v_n=0.$
Áp dùng BĐT $x-\frac{x^3}{6} \sin x \le x \forall x\in (0, \pi/2).$
Suy ra giới hạn cần tìm là $ \frac{\pi}{4}.$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vanchanh123: 24-02-2017 - 23:25
Đời người là một hành trình...
#4
Đã gửi 24-02-2017 - 23:33
Bài 1:
Đặt $u_n= \frac{1}{n} \sqrt[n]{\prod_{k=1}^n (n+k)}$ với $n \in \mathbb{N}.$
Khi đó $u_n= \sqrt[n]{\prod_{k=1}^n \left(1+\frac{1}{n}\right)}.$
Và $\ln u_n = \frac{1}{n} \left( \sum_{k=1}^n \ln{\left(1+\frac{k}{n}\right)}\right).$
Dùng tổng Riemann, ta suy ra $\lim \ln u_n = \int_0^1 \ln{(1+x)}dx=2\ln2-1.$
Vì thế $\lim u_n =\frac{4}{e}.$
ok câu a mk hiểu rồi , thank b nhé !
#5
Đã gửi 24-02-2017 - 23:38
Bài 2 (Câu b)
"Nếu" bỏ cái $\sin$ thì ta dễ dàng dùng tích phần để chỉ ra
$\lim u_n= \int_0^1 \frac{1}{1+x^2}dx= \frac{\pi}{4},$
trong đó $u_n= \sum_{k=1}^n \frac{n}{n^2+k^2}.$
Đặt $v_n = \sum_{k=1}^n\left( \frac{n}{n^2+k^2}\right)^3.$
Dễ thấy $\lim v_n=0.$
Áp dùng BĐT $x-\frac{x^3}{6} \sin x \le x \forall x\in (0, \pi/2).$
Suy ra giới hạn cần tìm là $ \frac{\pi}{4}.$
mk k hiểu từ chỗ đặt vn , bạn giải thích rõ hơn đc k ?
#6
Đã gửi 25-02-2017 - 04:43
mk k hiểu từ chỗ đặt vn , bạn giải thích rõ hơn đc k ?
Ta có
\[ u_n- v_n \le \sum_{k=1}^n \sin\frac{n}{n^2+k^2}\le u_n\, \forall n\in \mathbb{N}.\]
Nhận xét: $\lim u_n= \frac{\pi}{4}$, và $\lim v_n= 0$ vì
\[0\le v_n = \sum_{k=1}^n\left( \frac{n}{n^2+k^2}\right)^3 \le \sum_{k=1}^n\left( \frac{n}{n^2}\right)^3=\frac{1}{n^2}, \, \forall n\in \mathbb{N}.\]
Dùng định lý kẹp, suy ra
\[ \lim \sum_{k=1}^n \sin\frac{n}{n^2+k^2}= \frac{\pi}{4}.\]
Đời người là một hành trình...
#7
Đã gửi 25-02-2017 - 09:47
Ta có
\[ u_n- v_n \le \sum_{k=1}^n \sin\frac{n}{n^2+k^2}\le u_n\, \forall n\in \mathbb{N}.\]
Nhận xét: $\lim u_n= \frac{\pi}{4}$, và $\lim v_n= 0$ vì
\[0\le v_n = \sum_{k=1}^n\left( \frac{n}{n^2+k^2}\right)^3 \le \sum_{k=1}^n\left( \frac{n}{n^2}\right)^3=\frac{1}{n^2}, \, \forall n\in \mathbb{N}.\]
Dùng định lý kẹp, suy ra
\[ \lim \sum_{k=1}^n \sin\frac{n}{n^2+k^2}= \frac{\pi}{4}.\]
tại sao $\sum_{k=1}^{n}(\frac{n}{n^{2}})^{3}$=$\frac{1}{n^{2}}$ vậy bạn ?
#8
Đã gửi 25-02-2017 - 17:54
tại sao $\sum_{k=1}^{n}(\frac{n}{n^{2}})^{3}$=$\frac{1}{n^{2}}$ vậy bạn ?
Chắc bạn chưa để ý chỉ số chạy phải không?
Đời người là một hành trình...
#9
Đã gửi 25-02-2017 - 20:11
Chắc bạn chưa để ý chỉ số chạy phải không?
mk k hiểu , b giải thích cho mk đi
#10
Đã gửi 25-02-2017 - 22:20
mk k hiểu , b giải thích cho mk đi
Chỉ số chạy là $k$, đâu có gì để giải thích phải không?
Đời người là một hành trình...
#11
Đã gửi 25-02-2017 - 22:27
Chỉ số chạy là $k$, đâu có gì để giải thích phải không?
thế thì phải bằng 1/n^3 chứ
#12
Đã gửi 26-02-2017 - 14:14
thế thì phải bằng 1/n^3 chứ
Tổng gồm n số hạng, mỗi số hạng đều bằng $\frac{1}{n^3}$. Do đó tổng bằng $\frac{1}{n^2}.$
Đời người là một hành trình...
#13
Đã gửi 26-02-2017 - 14:42
Tổng gồm n số hạng, mỗi số hạng đều bằng $\frac{1}{n^3}$. Do đó tổng bằng $\frac{1}{n^2}.$
à ừ , mình hiểu rồi , thank b nhé !
#14
Đã gửi 26-02-2017 - 15:31
à ừ , mình hiểu rồi , thank b nhé !
Mấy bài toán này bạn tự nghiên cứu hay là bài toán từ môn học nào mà "gớm" thế
Đời người là một hành trình...
#15
Đã gửi 26-02-2017 - 15:50
Mấy bài toán này bạn tự nghiên cứu hay là bài toán từ môn học nào mà "gớm" thế
bài về nhà của thầy bạn ạ !
#16
Đã gửi 26-02-2017 - 16:28
bài về nhà của thầy bạn ạ !
Thanks!
Ban đầu mình bấn loạn! Chỉ thấy quen với $ \lim\sum_{k=1}^n \frac{n}{n^2+k^2}$. Thêm thằng $\lim$ vào, hết sức lạ lẫm!
Đời người là một hành trình...
#17
Đã gửi 26-02-2017 - 16:32
Thanks!
Ban đầu mình bấn loạn! Chỉ thấy quen với $ \lim\sum_{k=1}^n \frac{n}{n^2+k^2}$. Thêm thằng $\lim$ vào, hết sức lạ lẫm!
ừ , bạn nhìn còn biết chứ mk thì chả hiểu gì
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh