BD tại O. M, N, P, Q lần lượt là ảnh của O qua các trục đối xứng AB, BC, CD, DA. Chứng minh M, N, P, Q thuộc một đường tròn.
USAMO 1993
Bắt đầu bởi marsu, 20-06-2006 - 10:53
#1
Đã gửi 20-06-2006 - 10:53
marsu
-
- Thành viên
-
- 327 Bài viết
Sĩ quan
Cho tứ giác lồi ABCD có AC BD tại O. M, N, P, Q lần lượt là ảnh của O qua các trục đối xứng AB, BC, CD, DA. Chứng minh M, N, P, Q thuộc một đường tròn.
BD tại O. M, N, P, Q lần lượt là ảnh của O qua các trục đối xứng AB, BC, CD, DA. Chứng minh M, N, P, Q thuộc một đường tròn.
#2
Đã gửi 21-06-2006 - 08:07
ilovemoney_hic
-
- Thành viên
-
- 249 Bài viết
Thượng sĩ
Cách làm của em như thế này :
Dễ thấy A,B,C,D lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác OQM,OMN,ONP,OPQ
Từ đó dễ dàng có http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\widehat{OMN}=\dfrac{1}{2}\widehat{OBN}=\widehat{OBC}
Tương tự http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\widehat{OMQ}=\widehat{OAD};\widehat{OPN}=\widehat{OCB};\widehat{OPQ}=\widehat{ODA}
Cộng tất cả các đẳng thức vào ta có
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\widehat{QMN}+\widehat{NPQ}=\widehat{OBC}+\widehat{OCB}+\widehat{ODA}+\widehat{OAD}=180(vì hai đường chéo vuông góc)
Dễ thấy A,B,C,D lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác OQM,OMN,ONP,OPQ
Từ đó dễ dàng có http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\widehat{OMN}=\dfrac{1}{2}\widehat{OBN}=\widehat{OBC}
Tương tự http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\widehat{OMQ}=\widehat{OAD};\widehat{OPN}=\widehat{OCB};\widehat{OPQ}=\widehat{ODA}
Cộng tất cả các đẳng thức vào ta có
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\widehat{QMN}+\widehat{NPQ}=\widehat{OBC}+\widehat{OCB}+\widehat{ODA}+\widehat{OAD}=180(vì hai đường chéo vuông góc)
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
