Chủ đề này có 1 trả lời

[lythanhyen]

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), điểm D thuộc cung BC (không chứa A). Gọi H, I, K lần lượt là hình chiếu của D trên BC, CA, AB. Chứng minh rằng $\frac{BC}{DH}=\frac{AC}{DI}+\frac{AB}{DK}$ 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ngoc Hung: 27-02-2017 - 04:44

[NTMFlashNo1]

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), điểm D thuộc cung BC (không chứa A). Gọi H, I, K lần lượt là hình chiếu của D trên BC, CA, AB. Chứng minh rằng $\frac{BC}{DH}=\frac{AC}{DI}+\frac{AB}{DK}$ 

Ta thấy $\overline{K,H,I}$ chính là đường thẳng $Simson$.

Dễ thấy $BKDH,HDCI$ là tứ giác nội tiếp.

Do đó $\bigtriangleup KDI\sim \bigtriangleup BDC(g.g)$ $(1)$

Do $\widehat{DKH}=\widehat{DBC}=\widehat{DAC},\widehat{KHD}=\widehat{DCA}$

$\Rightarrow \bigtriangleup KDH\sim \bigtriangleup ADC (g.g)$

$\Rightarrow \frac{DK}{AD}=\frac{KH}{AC}=\frac{DH}{DC}$ và $\frac{DK}{DH}=\frac{AD}{DC}$.

$\Rightarrow AC.DK=AD.HK$

Tương tự có $\bigtriangleup HID\sim \bigtriangleup BAD(g.g)$

$\Rightarrow AB.DI=AD.HI$

Ta có:$\frac{AC}{DI}+\frac{AB}{DK}=\frac{AC.DK+AB.DI}{DI.DK}=\frac{AD(HK+HI)}{DI.DK}=\frac{AD.KI}{DI.DK}$

Cần chứng minh:$\frac{AD.KI}{DI.DK}=\frac{BC}{DH}$

$\Leftrightarrow \frac{AD.KI}{DI.BC}=\frac{DK}{DH}=\frac{AD}{DC}\Leftrightarrow \frac{KI}{DI}=\frac{BC}{DC}$ (đúng,theo $(1)$) 

Vậy có $ĐPCM$