Chủ đề này có 4 trả lời

[Nguyenngoctu]

Cho tam giác ABC, P là giao điểm của đường cao qua C và tiếp tuyến tại A của đường tròn (ABC). Phân giác của góc A cắt BC tại D. PD cắt AB tại K, nếu H là trực tâm của tam giác, chứng minh HK vuông góc với AD.

[BK29DTM]

Sau một hồi trâu bò biến đổi cuối cùng cũng được

gọi T là giao điểm của AD và PC, E là giao điểm của PC và AB

Đầu tiên định hướng để chứng minh HK vuông góc vs AD ta cm tam giác AET đồng dạng vs tam giác HEK 

ta có góc AET = góc HEK nên ta cần chứng minh AE/ET = EH/EK

ta có vì AT là tia phân giác suy ra AE/ET=(AE+AC)/EC mà ta cần chứng minh EH/EK = AE/ET suy ra ta cần chứng minh EK = (EH.EC)/(AE+AC) tương đương EK = (AE.EB)/(AE+AC) *

ta có vì PA là tiếp tuyến của (O) suy ra góc PAE = góc ACB gọi AM là đường cao của tam giác ABC suy ra tam giác PAE đồng dạng vs tam giác ACM

suy ra PE=(AM.AE)/MC kẻ DN vuông góc vs EC ta có DN/EB = DC/CB = AC/(AB+AC) suy ra ND = (AC.EB)/(AB+AC), EN/EC = BD/BC = AB/(AB+AC) suy ra NE = (EC.AB)/AB+AC) = (AM.BC)/AB+AC)

ta có EK // DN suy ra ND/EK = NP/PE = 1+ NE/PE 

mà NE = (AM.BC)(AB+AC) , PE = (AM.AE)/MC suy ra NE/PE = (BC.MC)/((AB+AC).AE) suy ra ND/EK = ((BC.MC)+(AB+AC).AE)/((AB+AC).AE)

mà ND = (AC.EB)/(AB+AC) suy ra EK = (AC.EB.AE)/((BC.MC)+(AB+AC).AE) **

từ  * và ** ta cần chứng minh (AC.EB.AE)/((BC.MC)+(AB+AC).AE) = (AE.EB)/(AE+AC) tương đương vs AC/((BC.MC)+(AB+AC).AE) = 1/(AE+AC)

nhân chéo lên ta cần chứng minh AC² = BC.MC + AB.AE gọi BZ là đường cao của tam giác ABC thì BC.MC = CZ.AC , AB.AE = AZ.AC suy ra dfcm 

[Nguyenngoctu]

Trông ngắn thế thôi nhưng nó là 

Đề thi chọn HSG Quốc gia của Iran năm 2016 – Vòng 3 (Iran MO 2016, 3rd Round) đấy bạn ạ.

[BK29DTM]

Mình thấy câu này ko khó chỉ cần một định hướng tốt và chút kiên nhẫn là đươc

[quantv2006]

Cho tam giác ABC, P là giao điểm của đường cao qua C và tiếp tuyến tại A của đường tròn (ABC). Phân giác của góc A cắt BC tại D. PD cắt AB tại K, nếu H là trực tâm của tam giác, chứng minh HK vuông góc với AD.

Xét tam giác ABC không cân tại A, giả sử AB <AC (trường hợp cân tính sau!), AP cắt BC tại T, khi đó T nằm trên tia đối của tia BC.

 

CH cắt (O) tại điểm thứ hai là N, cắt AB tại F. Nhận thấy N và H đối xứng nhau qua AB.

 

AD cắt (O) tại điểm thứ hai là E. Nhận thấy E là điểm chính giữa cung BC không chứa A.

 

EN cắt AB tại K'. Ta chứng minh P, K', D thẳng hàng, khi đó K' trùng K.

 

Do E là điểm chính giữa cung BC không chứa A nên K'N là phân giác góc BNF. Vậy K'H là phân giác góc BHF.

 

Để chứng minh P, K', D thẳng hàng, xét tam giác ATB có P, K', D nằm trên 3 cạnh, theo Menelaus ta phải chứng minh: $\frac{PA}{PT}.\frac{DT}{DB}.\frac{K'B}{K'A}=1 (1)$

 

Xét tam giác ATB có 3 điểm P, F, C thẳng hàng, theo Menelaus ta có: $\frac{PA}{PT}.\frac{CT}{CB}.\frac{FB}{FA}=1 (2)$

 

Từ (1), (2) ta sẽ phải chứng minh: $\frac{DT}{DB}.\frac{KB}{KA}=\frac{CT}{CB}.\frac{FB}{FA}$

 

$\frac{KB}{KA}=\frac{BD}{BC}.\frac{TC}{TD}.\frac{FB}{FA}(3)$

 

Ta có: $\frac{BD}{BC}=\frac{AB}{AB+AC}$; $\frac{TC}{TD}=\frac{TC}{TA}=\frac{AC}{AB}$.

 

Vậy $(3)\Leftrightarrow \frac{KB}{KA}=\frac{AB}{AB+AC}.\frac{AC}{AB}.\frac{FB}{FA}=\frac{AC}{AB+AC}.\frac{FB}{FA}$ (4)

 

Do tam giác FHB và FAC đồng dạng, HK' là phân giác của tam giác FHB nên ta có: $\frac{K'F}{K'B}=\frac{FH}{HB}=\frac{FA}{AC}$

 

Vậy: $\frac{K'F}{AF}=\frac{K'B}{AC}=\frac{BF}{AF+AC}$

 

$\Rightarrow K'B=\frac{AC.BF}{AF+AC}$

 

$K'A=K'F+AF=\frac{AF.BF}{AF+AC}+AF=\frac{AF.BF+AF.AF+AF.AC}{AF+AC}=\frac{AF(AB+AC)}{AF+AC}$

 

Do đó ta có: $\frac{K'B}{K'A}=\frac{AC.BF}{AF(AB+AC)}$. Như vậy (4) đúng hay (1) đúng hay 3 điểm P, K', D thẳng hàng. Do đó K' trùng K.

 

Do HK là phân giác góc FHB nên $\angle KHF=\frac{\angle BHF}{2}=\frac{\angle BAC}{2}=\angle FAD\Rightarrow$KH vuông góc với AD.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quantv2006: 10-03-2017 - 09:02