Bài 1: Tìm tỉ số giữa bán kính đường tròn ngoại tiếp và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác vuông có một góc nhọn bằng $30^{0}$.
Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết chu vi tam giác ABH = 30cm, chu vi tam giác ACH = 40 cm, Tính chu vi tam giac ABC.
Bài 1:
Gọi tam giác đó là ABC vuông tại A có góc ABC bằng 30 độ. Gọi R là bán kính đường tròn ngoại tiếp. r là bán kính đường tròn nội tiếp
Ta có: AC=BC.sin30=$\frac{BC}{2}$=R
AB=BC.cos30=$\frac{BC.\sqrt{3}}{2}$
Lại có: r=$\frac{AB+AC-BC}{2}$=$\frac{BC(\sqrt{3}-1)}{4}$
$\Rightarrow \frac{R}{r}=\frac{BC}{2}.\frac{4}{BC(\sqrt{3}-1)}=\frac{2}{\sqrt{3}-1}$
$=1+\sqrt{3}$
Bài 2: Theo hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông, ta có:
$AH=\frac{AB.AC}{BC}$
Lại có: $\Delta ABH\infty \Delta CAH(g.g)$
$\frac{AB}{AC}=\frac{AH}{CH}=\frac{3}{4}$ (Tỉ số đồng dạng bằng tỉ số chu vi)
$\Rightarrow AB=\frac{3AC}{4}$
$\Rightarrow BC=\frac{5AC}{4}$ (pitago)
$\Rightarrow AH=\frac{AB.AC}{BC}=\frac{3AC}{5}$
Ta có: AB+AC+BC+2AH=70
$\Leftrightarrow \frac{3AC}{4}+AC+\frac{5AC}{4}+\frac{6AC}{5}=70$
$\Rightarrow AC=\frac{50}{3}; AB=\frac{25}{2}; BC=\frac{125}{6}$
Vậy chu vi tam giác ABC là: AB+BC+AC=$\frac{50}{3}+\frac{25}{2}+\frac{125}{6}=50$