Chủ đề này có 1 trả lời

[terence]

Cho x, y, z thỏa mãn: $\frac{2}{x}+\frac{2}{y+z}=\frac{3}{y}+\frac{3}{z+x}=\frac{4}{z}+\frac{4}{x+y}=1$

Tính $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$

[tritanngo99]

Cho x, y, z thỏa mãn: $\frac{2}{x}+\frac{2}{y+z}=\frac{3}{y}+\frac{3}{z+x}=\frac{4}{z}+\frac{4}{x+y}=1$

Tính $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$

Từ giả thiết ta suy ra:

$\left\{\begin{matrix} \frac{1}{x}+\frac{1}{y+z}=\frac{1}{2}\\ \frac{1}{y}+\frac{1}{z+x}=\frac{1}{3}\\ \frac{1}{z}+\frac{1}{x+y}=\frac{1}{4}  \end{matrix}\right.$.(*)

Đặt: $(x;y)=(mz;nz)$.

Khi đó:

$(*)\iff \left\{\begin{matrix} \frac{m+n+1}{mn+m}=\frac{z}{2}(1)\\ \frac{m+n+1}{mn+n}=\frac{z}{3}(2)\\ \frac{m+n+1}{m+n}=\frac{z}{4}(3) \end{matrix}\right.$.

Lấy $\frac{(1)}{(3)},\frac{(2)}{(3)}$ ta được:

$\left\{\begin{matrix} \frac{m+n}{mn+m}=2\\ \frac{m+n}{mn+n}=\frac{4}{3}  \end{matrix}\right.$.

$\left\{\begin{matrix} 2mn=n-m\\ 4mn=3m-n  \end{matrix}\right.$

$\implies 2n-2m=3m-n\iff 5m=3n$.

Thay vào lại ta được: $10mn=5n-5m\iff 6n^2=5n-3n\iff n=\frac{1}{3}\implies m=\frac{1}{5}$.

Khi đó thay vào $(1)$ ta được: $z=\frac{23}{2}$.

Vậy $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{z}(\frac{1}{m}+\frac{1}{n}+1)=\frac{18}{23}$.