Chủ đề này có 1 trả lời

[forestercbg]

Cho hình chóp tam giác đều $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$, cạnh $SA=\dfrac{2a\sqrt3}{3}$. Gọi $D$ là điểm đối xứng của $B$ qua $C$. Tính bán kính $R$ của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABD$.

 

[chanhquocnghiem]

Cho hình chóp tam giác đều $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$, cạnh $SA=\dfrac{2a\sqrt3}{3}$. Gọi $D$ là điểm đối xứng của $B$ qua $C$. Tính bán kính $R$ của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABD$.

$CA=CB=CD\Rightarrow$ tâm $O$ của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABD$ phải thuộc đường thẳng $d$ vuông góc với $(ABCD)$ tại $C$.

Gọi $\alpha$ là mặt phẳng chứa $O$ và song song với $(ABCD)$.

Gọi $I$ là tâm tam giác đều $ABC$ và $K$ là giao điểm của $SI$ với $\alpha$

Dễ dàng tính được $IC=\frac{a\sqrt{3}}{3}\Rightarrow SI=\sqrt{SA^2-IC^2}=a$

Đặt $x=KI=SI-SK\Rightarrow SK=SI-x=a-x$

Ta có :

$OA=OB=OD=\sqrt{OC^2+a^2}=\sqrt{KI^2+a^2}=\sqrt{x^2+a^2}$

$OS=\sqrt{SK^2+KO^2}=\sqrt{SK^2+IC^2}=\sqrt{(a-x)^2+\frac{a^2}{3}}$

$OA=OB=OD=OS\Rightarrow x^2+a^2=(a-x)^2+\frac{a^2}{3}\Rightarrow x=\frac{a}{6}$

$\Rightarrow$ Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABD$ là :

$R=OA=OB=OD=\sqrt{x^2+a^2}=\sqrt{\frac{37}{36}\ a^2}=\frac{\sqrt{37}}{6}\ a$.