Chủ đề này có 5 trả lời

[ChienTran]

giải phương trình với a,b,c là số tự nhiên :$a^{2}+b^{2}+c^{2}=abc$=25102015

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ChienTran: 19-03-2017 - 16:24

[NHoang1608]

Solution

1) Nếu cả 3 số $a;b;c$ đều bằng nhau$\Rightarrow 3a^{2}=a^{3}$ suy ra $a=b=c=0$ hoặc $a=b=c=3$

2) Nếu trong 3 số $a;b;c$ có ít nhất 2 số bằng nhau. Không mất tính tổng quát ta giả sử $a=b$

Suy ra $2a^{2}+c^{2}=a^{2}c \Leftrightarrow a^{2}(2-c)+c^{2}-4=-4 \Leftrightarrow (2-c)(a^{2}-c-2)=-4$ Đến đây dễ suy ra nghiệm của pt.

3) Nếu cả 3 số khác nhau từng đôi một.

Gọi $(a_{0};b_{0};c_{0})$ là 1 nghiệm tự nhiên của PT ban đầu thỏa mãn:$a_{0}>b_{0}>c_{0}$ và $a_{0}+b_{0}+c_{0}$ min.

$Xét pt a^{2}-ab_{0}c_{0}+b_{0}^{2}+c_{0}^{2}=0$ $(1)$.

Coi $(1)$ là pt bậc $2$ ẩn $a$.  Vì $(1)$ có 1 nghiệm tự nhiên $a_{0}$ nên theo định lí $Viète$ thì còn có 1 nghiệm $a_{1}$ của $(1)$ thỏa mãn

  $a_{0}+a_{1}=b_{0}c_{0}$ và $a_{1}a_{0}=b_{0}^{2}+c_{0}^{2}$

Dễ thấy $a_{1}\in \mathbb{N}$ suy ra $(a_{1};b_{0};c_{0})$ cũng là 1 nghiệm tự nhiên của pt ban đầu.

Vì $a_{0}+b_{0}+c_{0}$ min nên $a_{1} \geq a_{0} > b_{0}$

     $\Rightarrow (a_{1}-1)(a_{0}-1) \geq b_{0}^{2}$

     $\Rightarrow a_{1}a_{0}-(a_{0}+a_{1})+1\geq b_{0}^{2}$

     $\Rightarrow b_{0}^{2}+c_{0}^{2}-b_{0}c_{0}+1 \geq b_{0}^{2}$

     $\Rightarrow c_{0}^{2}+1\geq b_{0}c_{0}$

Vì $b_{0}>c_{0}$ nên $b_{0}c_{0}\geq (c_{0}+1)c_{0}=c_{0}^{2}+c_{0}$

Suy ra $1\geq c_{0}$.

Với $c_{0}$ thì $a_{0}=b{0}$ trái với $a_{0}>b_{0}>c_{0}$

Với $c_{0}$ thì $a_{0}^{2}+b_{0}^{2}+1=a_{0}b_{0}$ vô lí vì theo bđt $AM-GM$ thì $a_{0}^{2}+b_{0}^{2} \geq 2a_{0}b_{0}$

Tóm lại pt có nghiệm tự nhiên duy nhất là $(0;0;0)$ và (3;3;3)

 

 

P/s: Lâu không dùng Viets jumping không biết có đúng ko.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NHoang1608: 19-03-2017 - 16:55

[ChienTran]

Solution

1) Nếu cả 3 số $a;b;c$ đều bằng nhau$\Rightarrow a^{2}=3a^{3}$ suy ra $a=b=c=0$

2) Nếu trong 3 số $a;b;c$ có ít nhất 2 số bằng nhau. Không mất tính tổng quát ta giả sử $a=b$

Suy ra $2a^{2}+c^{2}=a^{2}c \Leftrightarrow a^{2}(2-c)+c^{2}-4=-4 \Leftrightarrow (2-c)(a^{2}-c-2)=-4$ Đến đây dễ suy ra nghiệm của pt.

3) Nếu cả 3 số khác nhau từng đôi một.

Gọi $(a_{0};b_{0};c_{0})$ là 1 nghiệm tự nhiên của PT ban đầu thỏa mãn:$a_{0}>b_{0}>c_{0}$ và $a_{0}+b_{0}+c_{0}$ min.

$Xét pt a^{2}-ab_{0}c_{0}+b_{0}^{2}+c_{0}^{2}=0$ $(1)$.

Coi $(1)$ là pt bậc $2$ ẩn $a$.  Vì $(1)$ có 1 nghiệm tự nhiên $a_{0}$ nên theo định lí $Viète$ thì còn có 1 nghiệm $a_{1}$ của $(1)$ thỏa mãn

  $a_{0}+a_{1}=b_{0}c_{0}$ và $a_{1}a_{0}=b_{0}^{2}+c_{0}^{2}$

Dễ thấy $a_{1}\in \mathbb{N}$ suy ra $(a_{1};b_{0};c_{0})$ cũng là 1 nghiệm tự nhiên của pt ban đầu.

Vì $a_{0}+b_{0}+c_{0}$ min nên $a_{1} \geq a_{0} > b_{0}$

     $\Rightarrow (a_{1}-1)(a_{0}-1) \geq b_{0}^{2}$

     $\Rightarrow a_{1}a_{0}-(a_{0}+a_{1})+1\geq b_{0}^{2}$

     $\Rightarrow b_{0}^{2}+c_{0}^{2}-b_{0}c_{0}+1 \geq b_{0}^{2}$

     $\Rightarrow c_{0}^{2}+1\geq b_{0}c_{0}$

Vì $b_{0}>c_{0}$ nên $b_{0}c_{0}\geq (c_{0}+1)c_{0}=c_{0}^{2}+c_{0}$

Suy ra $1\geq c_{0}$.

Với $c_{0}$ thì $a_{0}=b{0}$ trái với $a_{0}>b_{0}>c_{0}$

Với $c_{0}$ thì $a_{0}^{2}+b_{0}^{2}+1=a_{0}b_{0}$ vô lí vì theo bđt $AM-GM$ thì $a_{0}^{2}+b_{0}^{2} \geq 2a_{0}b_{0}$

Tóm lại pt có nghiệm tự nhiên duy nhất là $(0;0;0)$.

 

 

P/s: Lâu không dùng Viets jumping không biết có đúng ko.

nếu đổi đề thế này bạn làm đc ko

[NHoang1608]

nếu đổi đề thế này bạn làm đc ko

Thì vẫn thế mà bạn chẳng qua nếu 25102015 thì pt vô nghiệm vì nếu $a=b=c=0$ hoặc $a=b=c=3$ thì không thỏa man $abc=25102015.$

[ChienTran]

Thì vẫn thế mà bạn chẳng qua nếu 25102015 thì pt vô nghiệm vì nếu $a=b=c=0$ hoặc $a=b=c=3$ thì không thỏa man $abc=25102015.$

cảm ơn nhá

[ChienTran]

Thì vẫn thế mà bạn chẳng qua nếu 25102015 thì pt vô nghiệm vì nếu $a=b=c=0$ hoặc $a=b=c=3$ thì không thỏa man $abc=25102015.$

cảm ơn nhá