Chủ đề này có 5 trả lời

[LinhToan]

1. CMR: $\sqrt{2\sqrt{3\sqrt{4\sqrt{5...\sqrt{2000}}}}}< 3$

2. tìm bộ ba số tự nhiên lớn hơn 1 thỏa mãn : tích 2 số bất kỳ trong 3 số ấy cộng với 1 chia hết cho số thứ ba.

3. cho cặp số (x,y) thỏa mãn:

-1$\leq x+y\leq 1$ , -1$\leq xy+x+y\leq 1$

CMR: $\left | x \right |\leq 2, \left | y \right |\leq 2$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi LinhToan: 31-03-2017 - 07:32

[tienduc]

1. CMR: $\sqrt{2\sqrt{3\sqrt{4\sqrt{5...\sqrt{2000}}}}}< 3$

 Ta có $\sqrt{2000} < 2001 \rightarrow \sqrt{1999\sqrt{2000}} < \sqrt{1999.2001}<\frac{1999+2001}{2}=2000$ (Áp dụng BĐT $AM-GM$)

Làm tương tự như trên ta có

$\sqrt{2\sqrt{3\sqrt{4\sqrt{...\sqrt{1999\sqrt{2000}}}}}}< \sqrt{2\sqrt{3\sqrt{4\sqrt{...\sqrt{1999.2001}}}}}< \sqrt{2\sqrt{3\sqrt{4\sqrt{...\sqrt{1998.2000}}}}}< ...< \sqrt{2.4}< 3$ $đpcm$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tienduc: 31-03-2017 - 11:50

[viet9a14124869]

1. CMR: $\sqrt{2\sqrt{3\sqrt{4\sqrt{5...\sqrt{2000}}}}}< 3$

2. tìm bộ ba số tự nhiên lớn hơn 1 thỏa mãn : tích 2 số bất kỳ trong 3 số ấy cộng với 1 chia hết cho số thứ ba.

3. cho cặp số (x,y) thỏa mãn:

-1$\leq x+y\leq 1$ , -1$\leq xy+x+y\leq 1$

CMR: $\left | x \right |\leq 2, \left | y \right |\leq 2$

Câu 3 :  

Theo đề ra ,,ta có $\left\{\begin{matrix} 1\leq (x+1)+(y+1)\leq 3 & & \\ 0\leq (x+1)(y+1)\leq 2 & & \end{matrix}\right.$

Đặt x+1=a,y+1=b $\Rightarrow 3\geq a\geq 0\Rightarrow 2\geq \left | x \right |$

Chứng minh tương tự ta có đpcm     

[tienduc]

2. tìm bộ ba số tự nhiên lớn hơn 1 thỏa mãn : tích 2 số bất kỳ trong 3 số ấy cộng với 1 chia hết cho số thứ ba.

Giả sử $a \geq b \geq c >1$ 

Theo đề bài ta có $\left\{\begin{matrix} ab+1 \vdots c & \\ bc+1 \vdots a & \\ ca+1 \vdots b & \end{matrix}\right.$

$ \rightarrow (ab+1)(bc+1)(ca+1) \vdots abc$ 

$ \rightarrow abc \leq ab+bc+ca+1 \leq 3ab+1 \rightarrow abc <4ab \rightarrow c <4 \rightarrow c \in (2;3)$

Xét $c=2$ $\rightarrow \left\{\begin{matrix} 2b+1 \vdots a & \\ 2a+1 \vdots b & \\ ab+1 \vdots 2 (1) & \end{matrix}\right.$

Từ $(1)$ $ \rightarrow ab$ lẻ $ \rightarrow a$ và $b$ đều lẻ

$\rightarrow (2a+1)(2b+1) \vdots ab \rightarrow ab \leq 2a+2b+1 \leq 4a+1 \rightarrow ab \leq 4a \rightarrow b \leq 4 \rightarrow b \in (2;3;4)$

Nếu $b=2$ thay vào bài $ \rightarrow 2a+1 \vdots 2$ $\rightarrow 2a$ lẻ (vô lí)

Nếu $b=3$ thay vào bài $ \rightarrow 7 \vdots a$ mà $a \geq b =3$ $\rightarrow a=7$ 

Nếu $b=4$ thay vào bài $ \rightarrow 4 \vdots 2a+1$ mà $2a+1$ lẻ

$\rightarrow 2a+1=1 \rightarrow a=0$ (loại vì không đúng theo điều giả sử)

Trường hợp $c=3$ xét tương tự 

Vậy $(a;b;c) \in (7;3;2)$ và hoán vị $\blacksquare$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tienduc: 06-04-2017 - 16:03

[LinhToan]

Giả sử $a \geq b \geq c >1$ 

Theo đề bài ta có $\left\{\begin{matrix} ab+1 \vdots c & \\ bc+1 \vdots a & \\ ca+1 \vdots b & \end{matrix}\right.$

$ \rightarrow (ab+1)(bc+1)(ca+1) \vdots abc$ 

$ \rightarrow abc \leq ab+bc+ca+1 \leq 3ab+1 \rightarrow abc <3ab \rightarrow c <3 \rightarrow c=2$

Xét $c=2$ $\rightarrow \left\{\begin{matrix} 2b+1 \vdots a & \\ 2a+1 \vdots b & \\ ab+1 \vdots 2 (1) & \end{matrix}\right.$

Từ $(1)$ $ \rightarrow ab$ lẻ $ \rightarrow a$ và $b$ đều lẻ

$\rightarrow (2a+1)(2b+1) \vdots ab \rightarrow ab \leq 2a+2b+1 \leq 4a+1 \rightarrow ab<4a \rightarrow b<4 \rightarrow b \in (2;3)$

Nếu $b=2$ thay vào bài $ \rightarrow 2a+1 \vdots 2$ $\rightarrow 2a$ lẻ (vô lí)

Nếu $b=3$ thay vào bài $ \rightarrow 7 \vdots a$ mà $a \geq b =3$ $\rightarrow a=7$ 

Vậy $(a;b;c) \in (7;3;2)$ và hoán vị $\blacksqu

chỗ này mình thấy có vấn đề, phải là:

abc<4ab suy ra c<4, từ đó phải thử c=2 và c=3

[tienduc]

chỗ này mình thấy có vấn đề, phải là:

abc<4ab suy ra c<4, từ đó phải thử c=2 và c=3

Mình xét thiếu trường hợp, đã sửa