3 replies to this topic

[haccau]

1. cho tam giác nhọn ABC có H là trực tâm. gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và AH. đường phân giác trong góc A cắt MN tại K. cmr AK vuông góc với HK.

2. cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). gọi AH, AD lần lượt là đường cao, đường phân giác trong của tam giác ABC (H,D $\epsilon$ BC). tia AD cắt (O) tại E, tia EH cắt (O) tại F và tia FD cắt (O) tại K. cmr AK là đường kính của (O).

[NHoang1608]

Bài 1: Vẽ đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ có tâm là $O$. Ta có bổ đề sau $OM=AN=NH=\frac{1}{2}AH$ (Tự chứng minh)

Vì $\widehat{BAH}=\widehat{OAC}$ (Cùng phụ với $\widehat{ABC}$) mà $AK$ là phân giác $\widehat{BAC}$

$\Rightarrow AK$ là phân giác $\widehat{HAO}\Rightarrow \widehat{NAK}=\widehat{KAO}$.

Theo bổ đề trên ta có tứ giác $ANMO$ là hình bình hành

$\Rightarrow HK//AO$

$\Rightarrow \widehat{AKN}=\widehat{KAO}=\widehat{NAK}$ ( Chứng minh trên )

Hay tam giác $NAK$ cân tại $N$ mà $N$ là trung điểm $AH$

$\Rightarrow AN=NH=NK$

$\Rightarrow$ Tam giác $AHK$ vuông tại $K$. $\boxed{ }$ 

[BK29DTM]

2

ΔECD ∾ ΔEAC (g.g)  ⇒ ED.EA = EC²

ΔEBH ∾ ΔEFB (g.g)  ⇒ EH.EF = EB²

Mà EB = EC ⇒ ED.EA = EH.EF ⇒ tứ giác FADH nội tiếp

⇒ ∠HED = ∠HAD ⇒ ∠EAK = ∠EAH  ⇒ ∠BAH = ∠KAC

sau đó dễ dàng cm được AK là đường kính

[Nguyenngoctu]

Bài 1 dùng phương tích, mấy dòng là ra. 

Gọi AD, BE, CF là các đường cao của tam giác ABC. Do M,N lần lượt là tâm các đường tròn ngoại tiếp các tứ giác BCEF và AEHF nên MN vuông góc với EF. MN cắt (N) tại K' thì K' là điểm chính giữa cung EHF nên AK' là đường phân giác trong của góc BAC nên K trùng K' và đương nhiên HK vuông góc AK vì AH là đường kính đường tròn (N).