Bài 1: CMR tồn tại vô hạn cặp $(a,b)$ thoả mãn $a$, $b$ nguyên tố cùng nhau và đồng thời lớn hơn 1 để $a^b+b^a$ chia hết cho $a+b$
Bài 2: Cho $m_1, m_2, \ldots, m_n$ là n số nguyên dương không nhất thiết phân biệt . Với dãy các số nguyên bất kì $A = (a_1, \ldots, a_n)$ và 1 hoán vị bất k ì$w = w_1, \ldots, w_n$ của $m_1, m_2, \ldots, m_n$ định nghĩa $A$-inversion của $w$ là các cặp $w_i$ và $w_j$ với $i$ < $j$ thoả mãn các điều kiện :
i) $a_i \ge w_i > w_j$
ii) $w_j > a_i \ge w_i$ hoặc
iii) $w_i > w_j > a_i$
CMR với 2 dãy số nguyên $A = (a_1, \ldots, a_n)$ và $B = (b_1, \ldots, b_n)$ và với mỗi số nguyên dương $k$ ,số hoán vị của $m_1, \ldots, m_n$ có đúng k $A$-inversion bằng với số bộ hoán vị $m_1, \ldots, m_n$ có đúng $k$ $B$-inversion.
Bài 3: Cho $ABC$ là tam giác không có 3 cạnh bằng nhau , nội tiếp $\Omega$ và có tâm nội tiếp $I$. Tia $AI$ cắt $BC$ tại $D$ và $\Omega$ lần thứ 2 tại M. Đường tròn đường kính $DM$ cắt $\Omega$ tại $K$ . $MK$ cắt $BC$ tại $S$. Lấy $N$ là trung điểm của tia $IS$. Đường tròn ngoại tiếp $\triangle KID$ và $\triangle MAN$ cắt nhau lần lượt tại $L_1$ và $L_2$. CMR $\Omega$ đi qua trung điểm của $IL_1$ hoặc $IL_2$.
Chúc mọi người có 1 buổi đêm vui vẻ