1 reply to this topic

[jupiterhn9x]

Cho tam giác ABC nội tiếp (O), trực tâm H, M trung điểm BC. Gọi P thuộc đoạn BC sao cho góc BHP = góc CHM. Tia MH cắt (O) tại N. 

Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác MPN tiếp xúc với (O)

Attached Images

• 

[BK29DTM]

Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔNPM

do ΔNPM nội tiếp (I) ⇒ ∠INM + ∠NPB = 90° (tự cm)

ta có ∠ANM = 90°, ∠CHP = ∠NBP (cùng bù với ∠NAC), ∠HPC = ∠NAO (tự cm)

Trên tia đối tia MN lấy điểm K sao cho MK = MN lại có MB = MC ⇒ tứ giác BNCK là hình bh

⇒ CK = NB và ∠CKH = ∠BNM = ∠HAC = ∠HBP (do N,M,A' thẳng hàng tcm)

⇒ ΔHCK ∾ ΔHPB (g.g) ⇒ HC/CK = HP/BP hay HC/NB = HP/BP ⇒ HC/HP = NB/BP lại có ∠CHP = ∠NBP

⇒  ΔCHP ∾ ΔNBP (c.g.c) ⇒ ∠NPB = ∠CPH = ∠NAO

mà có ∠ONH + ∠NAO = 90° kết hợp vs ∠INM + ∠NPB = 90°

⇒ ∠ONH = ∠INM ⇒ N,I,O thẳng hàng ⇒ (I), (O) tiếp xúc trong tại N

Edited by BK29DTM, 24-04-2017 - 22:49.