$\left\{\begin{matrix} p-1=2x(x+2) & \\ p^2-1=2y(y+2)& \end{matrix}\right.$
p/s:cần gấp
tìm tất cả các số nguyên tố p và các số nguyên dương x,y thỏa mãn
#1
Đã gửi 23-04-2017 - 11:20
- adteams và NHoang1608 thích
#2
Đã gửi 23-04-2017 - 11:43
đề thi ams 2015-2016 nè
#3
Đã gửi 23-04-2017 - 12:03
$\left\{\begin{matrix} p-1=2x(x+2) & \\ p^2-1=2y(y+2)& \end{matrix}\right.$
p/s:cần gấp.
Trừ vế theo vế thì ta có được: $p(p-1)= 2 (y^{2}+2y-x^{2}-2x)$
$\Leftrightarrow p(p-1) = 2(x+y+2)(y-x)$
Suy ra $2(x+y+2)(y-x) \vdots p$
$\Rightarrow \begin{bmatrix} x+y+2 \vdots p \\ y-x \vdots p \end{bmatrix}$
Giả sử $y-x \vdots p$
$\Rightarrow p-1 \vdots 2(x+y+2)$ và $y-x \geq p$
Từ đây suy ra $y-x\geq p \geq 2(x+y+2)$ hoang đường vì $x,y\in \mathbb{N}$
Vậy điều giả sử là sai suy ra $x+y+2 \vdots p$ suy ra nốt $ p-1 \vdots 2(y-x)$
Suy ra $x+y+2 \geq p \geq 2(y-x)+1$
$\Rightarrow x+y+2 \geq 2y-2x+1$
$\Rightarrow 3x+1 \geq y$
$\Rightarrow p^{2}-1= 2y(y+2) \leq 2(3x+1)(3x+3) < 2.4x.(4x+8) = 32x(x+2)= 16(p-1)$
$\Rightarrow p^{2}-1 < 16(p-1)$
Chọn $p$ đủ lớn để thấy sự vô lí, khi đó $p \in {3;5;7;11;13}$. Thử trực tiếp ta có đáp án.
P/s: đây là cách giải của mình còn lời giải của đề thì mình chưa thấy, bn có thể tham khảo đáp án đề ams 15-16
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NHoang1608: 23-04-2017 - 12:16
The greatest danger for most of us is not that our aim is too high and we miss it, but that it is too low and we reach it.
----- Michelangelo----
#4
Đã gửi 23-04-2017 - 12:13
đề thi ams 2015-2016 nè
rứa à, để coi đạ
#5
Đã gửi 23-04-2017 - 12:16
Trừ vế theo vế thì ta có được: $p(p-1)= 2 (y^{2}+2y-x^{2}-2x)$
$\Leftrightarrow p(p-1) = 2(x+y+2)(y-x)$
Suy ra $2(x+y+2)(y-x) \vdots p$
$\Rightarrow \begin{bmatrix} x+y+2 \vdots p \\ y-x \vdots p \end{bmatrix}$
Giả sử $y-x \vdots p$
$\Rightarrow p-1 \vdots 2(x+y+2)$ và $y-x \geq p$
Từ đây suy ra $y-x\geq p \geq 2(x+y+2)$ hoang đường vì $x,y\in \mathbb{N}$
Vậy điều giả sử là sai suy ra $x+y+2 \vdots p$ suy ra nốt $ p-1 \vdots 2(y-x)$
Suy ra $x+y+2 \geq p \geq 2(y-x)+1$
$\Rightarrow x+y+2 \geq 2y-2x+1$
$\Rightarrow 3x+1 \geq y$
$\Rightarrow p^{2}-1= 2y(y+2) \leq 2(3x+1)(3x+3) < 2.4x.(4x+8) = 32x(x+2)= 16(p-1)$
$\Rightarrow p^{2}-1 < 16(p-1)$
Chọn $p$ đủ lớn để thấy sự vô lí, khi đó $p \in {3;5;7;11;13}$. Thử trực tiếp ta có đáp án.
tks anh nhiều ( thích cái câu hoang đường :v)
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh