Cho x, y là các số thực không âm thỏa mãn: $x+y\leq 1$
Chứng minh rằng: $x^{2}y^{2}(x^{2}+y^{2})\leq \frac{1}{32}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lelehieu2002: 06-05-2017 - 21:14
Cho x, y là các số thực không âm thỏa mãn: $x+y\leq 1$
Chứng minh rằng: $x^{2}y^{2}(x^{2}+y^{2})\leq \frac{1}{32}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lelehieu2002: 06-05-2017 - 21:14
Cho x, y là các số thực không âm thỏa mãn: $x+y\leq 1$
Chứng minh rằng: $x^{2}y^{2}(x^{2}+y^{2})\leq \frac{1}{32}$
Áp dụng bất đẳng thức quen thuộc: $ab\le \frac{(a+b)^2}{4}\forall a\ge 0,b\ge 0$.
Ta có: $x^2y^2(x^2+y^2)=\frac{1}{2}.(xy).[2xy.(x^2+y^2)]\le \frac{1}{2}.\frac{(x+y)^2}{4}.\frac{(x^2+y^2+2xy)^2}{4}=\frac{(x+y)^6}{32}\le \frac{1}{32}$.
Dấu $=$ xảy ra tại $x=y=\frac{1}{2}$
$\sqrt{xy}\leq \frac{1}{2}$$\rightarrow x^{2}y^{2}\leq \frac{1}{16}$
$x^{2}+y^{2}\leq (1-y)^{2}+y^{2}=2y^{2}-2y+1=2(y-\frac{1}{2})^{2}+\frac{1}{2}\leq \frac{1}{2}$
=Q.E.D
dấu = xảy ra <=> $x=y=\frac{1}{2}$
x2y2(x2+y2)≤132
Học từ ngày hôm qua, sống ngày hôm nay, hi vọng cho ngày mai. Điều quan trọng nhất là không ngừng đặt câu hỏi.
Albert Einstein.
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh