Chủ đề này có 3 trả lời

[lelehieu2002]

Cho x, y là các số thực không âm thỏa mãn: $x+y\leq 1$

Chứng minh rằng: $x^{2}y^{2}(x^{2}+y^{2})\leq \frac{1}{32}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lelehieu2002: 06-05-2017 - 21:14

[tritanngo99]

Cho x, y là các số thực không âm thỏa mãn: $x+y\leq 1$

Chứng minh rằng: $x^{2}y^{2}(x^{2}+y^{2})\leq \frac{1}{32}$

Áp dụng bất đẳng thức quen thuộc: $ab\le \frac{(a+b)^2}{4}\forall a\ge 0,b\ge 0$.

Ta có: $x^2y^2(x^2+y^2)=\frac{1}{2}.(xy).[2xy.(x^2+y^2)]\le \frac{1}{2}.\frac{(x+y)^2}{4}.\frac{(x^2+y^2+2xy)^2}{4}=\frac{(x+y)^6}{32}\le \frac{1}{32}$.

Dấu $=$ xảy ra tại $x=y=\frac{1}{2}$

[lelehieu2002]

Để em giải đầy đủ ra cho đây ạ:

Giải. Áp dụng bđt AM-GM cho 2 số kết hợp với $x+y \leqslant 1$

$$xy \cdot 2xy \cdot (x^2+y^2) \leqslant \dfrac{(x+y)^2}4 \cdot \dfrac{(2xy + x^2+y^2)^2}4 = \dfrac{(x+y)^2}4 \cdot \dfrac{(x+y)^4}4 \leqslant \dfrac1{16}$$

Suy ra $x^2y^2(x^2+y^2) \leqslant \dfrac1{32}$

Dấu '=' xảy ra khi $x=y=\dfrac12$

[Baodungtoan8c]

$\sqrt{xy}\leq \frac{1}{2}$$\rightarrow x^{2}y^{2}\leq \frac{1}{16}$

$x^{2}+y^{2}\leq (1-y)^{2}+y^{2}=2y^{2}-2y+1=2(y-\frac{1}{2})^{2}+\frac{1}{2}\leq \frac{1}{2}$

=Q.E.D

dấu = xảy ra <=> $x=y=\frac{1}{2}$

 

x2y2(x2+y2)≤132