Chủ đề này có 3 trả lời

[thutrang131]

Cho a,b,c>0 và ab+bc+ca=abc. Tìm GTLN của

$S=\frac{1}{a+2b+3c}+\frac{1}{b+2c+3a}+\frac{1}{c+2a+3b}$

Tương tự tổng quát với $S=\frac{1}{ma+nb+pc}+\frac{1}{mb+nc+pa}+\frac{1}{mc+na+pb}$ với (m;n;p) là bộ ba số nguyên dương bất kì

[TrBaoChis]

Theo C-S
nên $\sum$ $\frac{1}{a+2b+3c}$ <= $\frac{1}{36}$ $\sum$( $\frac{1}{a}$ + $\frac{2}{b}$+$\frac{3}{c}$ ) .....
 

[Hoang Dinh Nhat]

Từ $ab+bc+ca=abc$$\Rightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1$

Áp dụng BĐT C-S dạng Engel, ta có: $\sum \frac{36}{a+2b+3c}\leq \sum (\frac{1}{a}+\frac{4}{2b}+\frac{9}{3c})$

$\Rightarrow \sum\frac{36}{a+2b+3c}\leq   \sum \frac{1}{a}+\sum \frac{4}{2a}+\sum \frac{9}{3a}$

$\Leftrightarrow \sum \frac{36}{a+2b+3c}\leq 1+2+3=6$

$\Leftrightarrow \sum \frac{1}{a+2b+3c}\leq \frac{1}{6}$

Đạt tại: $a=b=c=3$

Vậy Max của $S$ là $\frac{1}{6}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Dinh Nhat: 07-05-2017 - 18:41

[Hoang Dinh Nhat]

Cho a,b,c>0 và ab+bc+ca=abc. Tìm GTLN của

$S=\frac{1}{a+2b+3c}+\frac{1}{b+2c+3a}+\frac{1}{c+2a+3b}$

Tương tự tổng quát với $S=\frac{1}{ma+nb+pc}+\frac{1}{mb+nc+pa}+\frac{1}{mc+na+pb}$ với (m;n;p) là bộ ba số nguyên dương bất kì

 

Tổng quát:$\sum \frac{1}{ma+nb+pc}\leq \frac{1}{m+n+p}$