Chủ đề này có 6 trả lời

[Chika Mayona]

Gọi $(C)$là đồ thị của hàm số $y=\frac{x-1}{x+3}$. Gọi $d$ là 1 tiếp tuyến của $(C)$, $(d)$ cắt đường tiệm cận đứng của $(C)$ tại $A$, cắt đường tiệm cận ngang của $(C)$ tại $B$ và gọi $I$ là tâm đối xứng của $(C)$. Viết phương trình tiếp tuyến $(d)$ biết:

a/ $IA=4IB$

b/ $IA+IB$ nhỏ nhất

[chanhquocnghiem]

Gọi $(C)$là đồ thị của hàm số $y=\frac{x-1}{x+3}$. Gọi $d$ là 1 tiếp tuyến của $(C)$, $(d)$ cắt đường tiệm cận đứng của $(C)$ tại $A$, cắt đường tiệm cận ngang của $(C)$ tại $B$ và gọi $I$ là tâm đối xứng của $(C)$. Viết phương trình tiếp tuyến $(d)$ biết:

a/ $IA=4IB$

b/ $IA+IB$ nhỏ nhất

Tiệm cận đứng : $x=-3$ ; Tiệm cận ngang : $y=1$ ; Tâm đối xứng : $I(-3;1)$

$y=f(x)=\frac{x-1}{x+3}=1-\frac{4}{x+3}\Rightarrow f'(x)=\frac{4}{(x+3)^2}> 0,\forall x$

 

a) Ta có $\left | f'(x) \right |=\frac{IA}{IB}$ mà $f'(x)> 0$ nên $f'(x)=\frac{IA}{IB}=4$

    $\Rightarrow \frac{4}{(x+3)^2}=4\Rightarrow x=-2$ hoặc $x=-4$

    + Với $x=-2\Rightarrow y=-3$, ta có tiếp tuyến $y=4(x+2)-3$ hay $y=4x+5$

    + Với $x=-4\Rightarrow y=5$, ta có tiếp tuyến $y=4(x+4)+5$ hay $y=4x+21$

 

b) Vì tính đối xứng của đồ thị nên ta chỉ cần xét trường hợp $x> -3$ rồi sẽ suy ra trường hợp còn lại.

    Xét trường hợp $x> -3$ :

    Lấy điểm $M(x,y)$ thuộc đồ thị ($x> -3$).Gọi hình chiếu của $M$ trên tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt là $P,Q$

    $IP=1-y_M=1-\frac{x-1}{x+3}=\frac{4}{x+3}$

    $IQ=x_M-(-3)=x+3$

    $PA=PM.f'(x)=IQ.f'(x)=\frac{4}{x+3}$

    $QB=\frac{QM}{f'(x)}=\frac{IP}{f'(x)}=x+3$

    $\Rightarrow IA+IB=IP+PA+IQ+QB=2\left ( \frac{4}{x+3}+x+3 \right )\geqslant 2.2\sqrt{4}=8$

    $IA+IB$ nhỏ nhất khi $x=-1$

 

    Vậy khi $x< -3$ thì $IA+IB$ nhỏ nhất khi $x=2.(-3)-(-1)=-5$

 

    + Với $x=-1\Rightarrow f'(-1)=1$, $y=-1$, ta có tiếp tuyến $y=1.(x+1)-1$ hay $y=x$

    + Với $x=-5\Rightarrow f'(-5)=1$, $y=3$, ta có tiếp tuyến $y=1.(x+5)+3$ hay $y=x+8$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 15-05-2017 - 16:02

[Chika Mayona]

Tiệm cận đứng : $x=-3$ ; Tiệm cận ngang : $y=1$ ; Tâm đối xứng : $I(-3;1)$

$y=f(x)=\frac{x-1}{x+3}=1-\frac{4}{x+3}\Rightarrow f'(x)=\frac{4}{(x+3)^2}> 0,\forall x$

 

a) Ta có $\left | f'(x) \right |=\frac{IA}{IB}$ mà $f'(x)> 0$ nên $f'(x)=\frac{IA}{IB}=4$

    $\Rightarrow \frac{4}{(x+3)^2}=4\Rightarrow x=-2$ hoặc $x=-4$

    + Với $x=-2\Rightarrow y=-3$, ta có tiếp tuyến $y=4(x+2)-3$ hay $y=4x+5$

    + Với $x=-4\Rightarrow y=5$, ta có tiếp tuyến $y=4(x+4)+5$ hay $y=4x+21$

 

b) Vì tính đối xứng của đồ thị nên ta chỉ cần xét trường hợp $x> -3$ rồi sẽ suy ra trường hợp còn lại.

    Xét trường hợp $x> -3$ :

    Lấy điểm $M(x,y)$ thuộc đồ thị ($x> -3$).Gọi hình chiếu của $M$ trên tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt là $P,Q$

    $IP=1-y_M=1-\frac{x-1}{x+3}=\frac{4}{x+3}$

    $IQ=x_M-(-3)=x+3$

    $PA=PM.f'(x)=IQ.f'(x)=\frac{4}{x+3}$

    $QB=\frac{QM}{f'(x)}=\frac{IP}{f'(x)}=x+3$

    $\Rightarrow IA+IB=IP+PA+IQ+QB=2\left ( \frac{4}{x+3}+x+3 \right )\geqslant 2.2\sqrt{4}=8$

    $IA+IB$ nhỏ nhất khi $x=-1$

 

    Vậy khi $x< -3$ thì $IA+IB$ nhỏ nhất khi $x=2.(-3)-(-1)=-5$

 

    + Với $x=-1\Rightarrow f'(-1)=1$, $y=-1$, ta có tiếp tuyến $y=1.(x+1)-1$ hay $y=x$

    + Với $x=-5\Rightarrow f'(-5)=1$, $y=3$, ta có tiếp tuyến $y=1.(x+5)+3$ hay $y=x+8$.

E cảm ơn anh ạ ^^

Câu a thì e hiểu rồi nhưng câu b e ko hiểu @@

 

 

 

    $\Rightarrow IA+IB=IP+PA+IQ+QB=2\left ( \frac{4}{x+3}+x+3 \right )\geqslant 2.2\sqrt{4}=8$

    $IA+IB$ nhỏ nhất khi $x=-1$

 

    Vậy khi $x< -3$ thì $IA+IB$ nhỏ nhất khi $x=2.(-3)-(-1)=-5$

 

    + Với $x=-1\Rightarrow f'(-1)=1$, $y=-1$, ta có tiếp tuyến $y=1.(x+1)-1$ hay $y=x$

    + Với $x=-5\Rightarrow f'(-5)=1$, $y=3$, ta có tiếp tuyến $y=1.(x+5)+3$ hay $y=x+8$.

Chỗ suy ra này là sao ạ?? Tự dưng đang bằng mà có hệ số 2 chen vào là sao ạ??

[Nguyenhungmanh]

Tiệm cận đứng : $x=-3$ ; Tiệm cận ngang : $y=1$ ; Tâm đối xứng : $I(-3;1)$

$y=f(x)=\frac{x-1}{x+3}=1-\frac{4}{x+3}\Rightarrow f'(x)=\frac{4}{(x+3)^2}> 0,\forall x$

 

a) Ta có $\left | f'(x) \right |=\frac{IA}{IB}$ mà $f'(x)> 0$ nên $f'(x)=\frac{IA}{IB}=4$

    $\Rightarrow \frac{4}{(x+3)^2}=4\Rightarrow x=-2$ hoặc $x=-4$

    + Với $x=-2\Rightarrow y=-3$, ta có tiếp tuyến $y=4(x+2)-3$ hay $y=4x+5$

    + Với $x=-4\Rightarrow y=5$, ta có tiếp tuyến $y=4(x+4)+5$ hay $y=4x+21$

 

b) Vì tính đối xứng của đồ thị nên ta chỉ cần xét trường hợp $x> -3$ rồi sẽ suy ra trường hợp còn lại.

    Xét trường hợp $x> -3$ :

    Lấy điểm $M(x,y)$ thuộc đồ thị ($x> -3$).Gọi hình chiếu của $M$ trên tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt là $P,Q$

    $IP=1-y_M=1-\frac{x-1}{x+3}=\frac{4}{x+3}$

    $IQ=x_M-(-3)=x+3$

    $PA=PM.f'(x)=IQ.f'(x)=\frac{4}{x+3}$

    $QB=\frac{QM}{f'(x)}=\frac{IP}{f'(x)}=x+3$

    $\Rightarrow IA+IB=IP+PA+IQ+QB=2\left ( \frac{4}{x+3}+x+3 \right )\geqslant 2.2\sqrt{4}=8$

    $IA+IB$ nhỏ nhất khi $x=-1$

 

    Vậy khi $x< -3$ thì $IA+IB$ nhỏ nhất khi $x=2.(-3)-(-1)=-5$

 

    + Với $x=-1\Rightarrow f'(-1)=1$, $y=-1$, ta có tiếp tuyến $y=1.(x+1)-1$ hay $y=x$

    + Với $x=-5\Rightarrow f'(-5)=1$, $y=3$, ta có tiếp tuyến $y=1.(x+5)+3$ hay $y=x+8$.

tại sao $\left | f'(x) \right |=\frac{IA}{IB}$ vậy anh ?

[chanhquocnghiem]

tại sao $\left | f'(x) \right |=\frac{IA}{IB}$ vậy anh ?

$\left | f'(x) \right |$ tức là giá trị tuyệt đối của đạo hàm tại điểm $x$.

Còn $\frac{IA}{IB}$ là giá trị tuyệt đối của hệ số góc của tiếp tuyến tại tiếp điểm có hoành độ bằng $x$.

Mà theo ý nghĩa hình học của đạo hàm thì : đạo hàm tại điểm $x$ chính là hệ số góc của tiếp tuyến tại tiếp điểm có hoành độ bằng $x$

[Nguyenhungmanh]

$\left | f'(x) \right |$ tức là giá trị tuyệt đối của đạo hàm tại điểm $x$.

Còn $\frac{IA}{IB}$ là giá trị tuyệt đối của hệ số góc của tiếp tuyến tại tiếp điểm có hoành độ bằng $x$.

Mà theo ý nghĩa hình học của đạo hàm thì : đạo hàm tại điểm $x$ chính là hệ số góc của tiếp tuyến tại tiếp điểm có hoành độ bằng $x$

em ko hiểu chỗ mà  $\frac{IA}{IB}$ là giá trị tuyệt đối của hệ số góc của tiếp tuyến tại tiếp điểm có hoành độ bằng $x$. 

[chanhquocnghiem]

em ko hiểu chỗ mà  $\frac{IA}{IB}$ là giá trị tuyệt đối của hệ số góc của tiếp tuyến tại tiếp điểm có hoành độ bằng $x$. 

Nếu một tiếp tuyến đi qua 2 điểm phân biệt $A$ và $B$ thì hệ số góc của nó là $\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$

Trường hợp đồ thị hàm nhất biến ($y=\frac{ax+b}{cx+d}$) thì hệ số góc của tiếp tuyến luôn luôn không đổi dấu (luôn dương hoặc luôn âm, không bao giờ bằng $0$)

+ Nếu hệ số góc dương thì có 2 trường hợp :

   - Hoặc $y_B> y_A$ và $x_B> x_A$.Khi đó theo hình vẽ ta có $y_B-y_A=IA$ ; $x_B-x_A=IB$

   - Hoặc $y_B< y_A$ và $x_B< x_A$.Khi đó theo hình vẽ ta có $y_B-y_A=-IA$ ; $x_B-x_A=-IB$

+ Nếu hệ số góc âm thì cũng có 2 trường hợp :

   - Hoặc $y_B> y_A$ và $x_B< x_A$.Khi đó theo hình vẽ ta có $y_B-y_A=IA$ ; $x_B-x_A=-IB$

   - Hoặc $y_B< y_A$ và $x_B> x_A$.Khi đó theo hình vẽ ta có $y_B-y_A=-IA$ ; $x_B-x_A=IB$

 

Trong cả $4$ trường hợp trên, ta đều có $\frac{IA}{IB}=\left | \frac{y_B-y_A}{x_B-x_A} \right |=$ giá trị tuyệt đối của hệ số góc của tiếp tuyến tại tiếp điểm có hoành độ $x$