Cho các số dương a,b,c, thỏa mãn a+b+c=3 . Chứng minh rằng :
$\frac{ab}{\sqrt{c^{2}+3}} + \frac{bc}{\sqrt{a^{2}+3}} + \frac{ac}{\sqrt{b^{2}+3}} \leq \frac{3}{2}$
( P/s : Có thể giải bài này bằng phương pháp tiếp tuyến không ạ ? m.n giúp em với ))
Cho các số dương a,b,c, thỏa mãn a+b+c=3 . Chứng minh rằng :
$\frac{ab}{\sqrt{c^{2}+3}} + \frac{bc}{\sqrt{a^{2}+3}} + \frac{ac}{\sqrt{b^{2}+3}} \leq \frac{3}{2}$
( P/s : Có thể giải bài này bằng phương pháp tiếp tuyến không ạ ? m.n giúp em với ))
[Dương Tuệ Linh ]
[Linh]
Không thể giải bằng pp tiếp tuyến vì đẳng thức không xảy ra tại biên.
$\mathbb{VTL}$
Bằng PP UCT, ta có đánh giá:
$\frac{\left ( 3-c \right )^{2}}{4\sqrt{2c(3-c)}}\leq \frac{-1}{8}c+\frac{5}{8}$
Tương tự thay $c$ thành $a,b$ và cộng các bất đẳng trên đc đpcm
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$
$\mathbb{VTL}$
$\frac{ab}{\sqrt{c^{2}+3}}= \frac{\sqrt{3}ab}{\sqrt{3c^{2}+(a+b+c)^{2}}}$$=\frac{\sqrt{3}ab}{\sqrt{4c^{2}+(a+b)^{2}+2c(a+b)}}\leq \frac{\sqrt{3}ab}{\sqrt{6c(a+b)}}= \frac{ab}{\sqrt{2c(a+b)}}$$\leq \frac{\left ( a+b \right )^{2}}{4\sqrt{2c(a+b)}}$$=\frac{\left ( 3-c \right )^{2}}{4\sqrt{2c(3-c)}}$Bằng PP UCT, ta có đánh giá:
$\frac{\left ( 3-c \right )^{2}}{4\sqrt{2c(3-c)}}\leq \frac{-1}{8}c+\frac{5}{8}$
Tương tự thay $c$ thành $a,b$ và cộng các bất đẳng trên đc đpcm
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$
Đánh giá không đúng khi $0<c<1$.
Edited by Hoang Dinh Nhat, 21-05-2017 - 07:28.
Chấp nhận giới hạn của bản thân, nhưng đừng bao giờ bỏ cuộc
Đánh giá không đúng khi $0<c<1$.
vậy à...., đạo hàm thấy ok mà
Edited by Drago, 21-05-2017 - 11:36.
$\mathbb{VTL}$
vậy à...., đạo hàm thấy ok má
thế với TH $0<c<1$ a phải dùng đạo hàm để cm hàm nghịch biến thì hàm đó luôn $<\frac{1}{2}$. Chứ còn đánh giá chỉ đúng khi $1\leq c<3$ thôi
Chấp nhận giới hạn của bản thân, nhưng đừng bao giờ bỏ cuộc
thế với TH $0<c<1$ a phải dùng đạo hàm để cm hàm nghịch biến thì hàm đó luôn $<\frac{1}{2}$. Chứ còn đánh giá chỉ đúng khi $1\leq c<3$ thôi
Vậy e đã nghĩ ra cách gì chưa?
$\mathbb{VTL}$
Vậy e đã nghĩ ra cách gì chưa?
do a dùng đạo hàm mà ko ghi vào nên em nói thôi
Chấp nhận giới hạn của bản thân, nhưng đừng bao giờ bỏ cuộc
Cho các số dương a,b,c, thỏa mãn a+b+c=3 . Chứng minh rằng :
$\frac{ab}{\sqrt{c^{2}+3}} + \frac{bc}{\sqrt{a^{2}+3}} + \frac{ac}{\sqrt{b^{2}+3}} \leq \frac{3}{2}$
( P/s : Có thể giải bài này bằng phương pháp tiếp tuyến không ạ ? m.n giúp em với ))
$a+b+c=3\Rightarrow 3\geq ab+bc+ca$
$\frac{ab}{\sqrt{c^{2}+3}}\leq \frac{ab}{\sqrt{c^{2}+ab+bc+ca}}=\frac{ab}{\sqrt{(c+a)(c+b)}}\leq \frac{1}{2}.\left [ \frac{ab}{c+a}+\frac{ab}{c+b} \right ]$
$\Rightarrow \frac{ab}{\sqrt{c^{2}+3}} + \frac{bc}{\sqrt{a^{2}+3}} + \frac{ac}{\sqrt{b^{2}+3}}\leq \frac{1}{2}.\sum [ \frac{ab}{c+a}+\frac{ab}{c+b}]=\frac{3}{2}\blacksquare$
P/S: Có
Edited by PlanBbyFESN, 21-05-2017 - 21:12.
$a+b+c=3\Rightarrow 3\geq ab+bc+ca$
$\frac{ab}{\sqrt{c^{2}+3}}\leq \frac{ab}{\sqrt{c^{2}+ab+bc+ca}}=\frac{ab}{\sqrt{(c+a)(c+b)}}\leq \frac{1}{2}.\left [ \frac{ab}{c+a}+\frac{ab}{c+b} \right ]$
$\Rightarrow \frac{ab}{\sqrt{c^{2}+3}} + \frac{bc}{\sqrt{a^{2}+3}} + \frac{ac}{\sqrt{b^{2}+3}}\leq \frac{1}{2}.\sum [ \frac{ab}{c+a}+\frac{ab}{c+b}]=\frac{3}{2}\blacksquare$
P/S: Có
có phải là s/d để c/m 3=a+b+c>= ab+bc+ca không ạ
Edited by adteams, 21-05-2017 - 21:53.
[Dương Tuệ Linh ]
[Linh]
có phải là s/d để c/m 3=a+b+c>= ab+bc+ca không ạ
Ta có: $(a+b+c)=3\Leftrightarrow (a+b+c)^2=9\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)=9$
Ta có BĐT: $a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ca\Rightarrow a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)\geq 3(ab+bc+ca)\Rightarrow 9\geq 3(ab+bc+ca)\Rightarrow 3\geq ab+bc+ca$
Chấp nhận giới hạn của bản thân, nhưng đừng bao giờ bỏ cuộc
Ta có: $(a+b+c)=3\Leftrightarrow (a+b+c)^2=9\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)=9$
Ta có BĐT: $a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ca\Rightarrow a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)\geq 3(ab+bc+ca)\Rightarrow 9\geq 3(ab+bc+ca)\Rightarrow 3\geq ab+bc+ca$
Cảm ơn bạn : )
MÌnh hơi ảo tưởng về pp tiếp tuyến : )
( Có cách khác để c/m ab+bc+ca<=3 . BĐT Tương đương Q=2(ab+bc+ca)<=6
Q= b(a+c) + c(a+b) + a(b+c) = 3b-b^2 +3c-c^2 +3a-a^2
Ta c/m BĐT 3b-b^2 <= b +1
=> Q<= (a+b+c) +3 =6 : )
[Dương Tuệ Linh ]
[Linh]
0 members, 1 guests, 0 anonymous users