Chủ đề này có 11 trả lời

[adteams]

Cho các số dương a,b,c, thỏa mãn a+b+c=3 . Chứng minh rằng : 

                              $\frac{ab}{\sqrt{c^{2}+3}} + \frac{bc}{\sqrt{a^{2}+3}} + \frac{ac}{\sqrt{b^{2}+3}} \leq \frac{3}{2}$

( P/s : Có thể giải bài này bằng phương pháp tiếp tuyến không ạ ? m.n giúp em với ))

[Drago]

Không thể giải bằng pp tiếp tuyến vì đẳng thức không xảy ra tại biên.

[Drago]

$\frac{ab}{\sqrt{c^{2}+3}}= \frac{\sqrt{3}ab}{\sqrt{3c^{2}+(a+b+c)^{2}}}$

$=\frac{\sqrt{3}ab}{\sqrt{4c^{2}+(a+b)^{2}+2c(a+b)}}\leq \frac{\sqrt{3}ab}{\sqrt{6c(a+b)}}= \frac{ab}{\sqrt{2c(a+b)}}$

$\leq \frac{\left ( a+b \right )^{2}}{4\sqrt{2c(a+b)}}$

$=\frac{\left ( 3-c \right )^{2}}{4\sqrt{2c(3-c)}}$

Bằng PP UCT, ta có đánh giá:

$\frac{\left ( 3-c \right )^{2}}{4\sqrt{2c(3-c)}}\leq \frac{-1}{8}c+\frac{5}{8}$

Tương tự thay $c$ thành $a,b$ và cộng các bất đẳng trên đc đpcm

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$

[Hoang Dinh Nhat]

 

$\frac{ab}{\sqrt{c^{2}+3}}= \frac{\sqrt{3}ab}{\sqrt{3c^{2}+(a+b+c)^{2}}}$

$=\frac{\sqrt{3}ab}{\sqrt{4c^{2}+(a+b)^{2}+2c(a+b)}}\leq \frac{\sqrt{3}ab}{\sqrt{6c(a+b)}}= \frac{ab}{\sqrt{2c(a+b)}}$

$\leq \frac{\left ( a+b \right )^{2}}{4\sqrt{2c(a+b)}}$

$=\frac{\left ( 3-c \right )^{2}}{4\sqrt{2c(3-c)}}$

Bằng PP UCT, ta có đánh giá:

$\frac{\left ( 3-c \right )^{2}}{4\sqrt{2c(3-c)}}\leq \frac{-1}{8}c+\frac{5}{8}$

Tương tự thay $c$ thành $a,b$ và cộng các bất đẳng trên đc đpcm

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$

 

 

Đánh giá không đúng khi $0<c<1$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Dinh Nhat: 21-05-2017 - 07:28

[Drago]

Đánh giá không đúng khi $0<c<1$.

vậy à...., đạo hàm thấy ok mà

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Drago: 21-05-2017 - 11:36

[Hoang Dinh Nhat]

vậy à...., đạo hàm thấy ok má

 

thế với TH $0<c<1$ a phải dùng đạo hàm để cm hàm nghịch biến thì hàm đó luôn $<\frac{1}{2}$. Chứ còn đánh giá chỉ đúng khi $1\leq c<3$ thôi

[Drago]

thế với TH $0<c<1$ a phải dùng đạo hàm để cm hàm nghịch biến thì hàm đó luôn $<\frac{1}{2}$. Chứ còn đánh giá chỉ đúng khi $1\leq c<3$ thôi

Vậy e đã nghĩ ra cách gì chưa?

[Hoang Dinh Nhat]

Vậy e đã nghĩ ra cách gì chưa?

 

do a dùng đạo hàm mà ko ghi vào nên em nói thôi

[PlanBbyFESN]

 

Cho các số dương a,b,c, thỏa mãn a+b+c=3 . Chứng minh rằng : 

                              $\frac{ab}{\sqrt{c^{2}+3}} + \frac{bc}{\sqrt{a^{2}+3}} + \frac{ac}{\sqrt{b^{2}+3}} \leq \frac{3}{2}$

( P/s : Có thể giải bài này bằng phương pháp tiếp tuyến không ạ ? m.n giúp em với ))

 

 

$a+b+c=3\Rightarrow 3\geq ab+bc+ca$

 

$\frac{ab}{\sqrt{c^{2}+3}}\leq \frac{ab}{\sqrt{c^{2}+ab+bc+ca}}=\frac{ab}{\sqrt{(c+a)(c+b)}}\leq \frac{1}{2}.\left [ \frac{ab}{c+a}+\frac{ab}{c+b} \right ]$

 

$\Rightarrow \frac{ab}{\sqrt{c^{2}+3}} + \frac{bc}{\sqrt{a^{2}+3}} + \frac{ac}{\sqrt{b^{2}+3}}\leq \frac{1}{2}.\sum [ \frac{ab}{c+a}+\frac{ab}{c+b}]=\frac{3}{2}\blacksquare$

 

P/S: Có

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PlanBbyFESN: 21-05-2017 - 21:12

[adteams]

$a+b+c=3\Rightarrow 3\geq ab+bc+ca$

 

$\frac{ab}{\sqrt{c^{2}+3}}\leq \frac{ab}{\sqrt{c^{2}+ab+bc+ca}}=\frac{ab}{\sqrt{(c+a)(c+b)}}\leq \frac{1}{2}.\left [ \frac{ab}{c+a}+\frac{ab}{c+b} \right ]$

 

$\Rightarrow \frac{ab}{\sqrt{c^{2}+3}} + \frac{bc}{\sqrt{a^{2}+3}} + \frac{ac}{\sqrt{b^{2}+3}}\leq \frac{1}{2}.\sum [ \frac{ab}{c+a}+\frac{ab}{c+b}]=\frac{3}{2}\blacksquare$

 

P/S: Có

có phải là s/d để c/m 3=a+b+c>= ab+bc+ca  không ạ  

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi adteams: 21-05-2017 - 21:53

[Hoang Dinh Nhat]

có phải là s/d để c/m 3=a+b+c>= ab+bc+ca  không ạ  

Ta có: $(a+b+c)=3\Leftrightarrow (a+b+c)^2=9\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)=9$

Ta có BĐT: $a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ca\Rightarrow a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)\geq 3(ab+bc+ca)\Rightarrow 9\geq 3(ab+bc+ca)\Rightarrow 3\geq ab+bc+ca$

[adteams]

Ta có: $(a+b+c)=3\Leftrightarrow (a+b+c)^2=9\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)=9$

Ta có BĐT: $a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ca\Rightarrow a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)\geq 3(ab+bc+ca)\Rightarrow 9\geq 3(ab+bc+ca)\Rightarrow 3\geq ab+bc+ca$

Cảm ơn bạn : )
MÌnh hơi ảo tưởng về pp tiếp tuyến  : )
( Có cách khác để c/m ab+bc+ca<=3 . BĐT Tương đương Q=2(ab+bc+ca)<=6 
Q= b(a+c) + c(a+b) + a(b+c) = 3b-b^2 +3c-c^2 +3a-a^2 
Ta c/m BĐT 3b-b^2 <= b +1 
=> Q<= (a+b+c) +3 =6    : )