1 reply to this topic

[hienhienhien]

Cho a,b,c la các số dương thỏa mãn điều kiện $a^2+2b^2\leq 3c^2$. Chứng minh $\frac{1}{a}+\frac{2}{b}\geq \frac{3}{c}$

Edited by tienduc, 23-05-2017 - 11:40.

[tienduc]

Cho a,b,c la các số dương thỏa mãn điều kiện $a^2+2b^2\leq 3c^2$. Chứng minh $\frac{1}{a}+\frac{2}{b}\geq \frac{3}{c}$

Áp dụng BĐT $Bunyakovsky$ có

$(a+2b)^2=(1.a+\sqrt2.\sqrt2b) \leq (1+2)(a^2+2b^2)\leq 3.3c^2=9c^2$$\rightarrow a+2b \leq 3c$

Áp dụng BĐT $Schwarz$ ta có

$\frac{1}{a}+\frac{2}{b}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}\geq \frac{9}{a+2b}\geq \frac{9}{3c}=\frac{3}{c}$

Dấu $"="$ xảy ra khi $a=b=c$