Chủ đề này có 3 trả lời

[toannguyenebolala]

Cho $n,r$ là các số nguyên dương. Bằng quy nạp, chứng minh rằng:

$\sum_{k=0}^{r}C_{n+k}^{k}=C_{n+r+1}^{r}$

[chanhquocnghiem]

Cho $n,r$ là các số nguyên dương. Bằng quy nạp, chứng minh rằng:

$\sum_{k=0}^{r}C_{n+k}^{k}=C_{n+r+1}^{r}$

Áp dụng liên tiếp công thức $C_{n+1}^p=C_n^p+C_n^{p-1}$, ta có :

$C_{n+r+1}^r=C_{n+r}^r+C_{n+r}^{r-1}=C_{n+r}^r+C_{n+r-1}^{r-1}+C_{n+r-1}^{r-2}=...$

$=C_{n+r}^r+C_{n+r-1}^{r-1}+C_{n+r-2}^{r-2}+...+C_n^0=\sum_{k=0}^{r}C_{n+k}^k$

[toannguyenebolala]

Áp dụng liên tiếp công thức $C_{n+1}^p=C_n^p+C_n^{p-1}$, ta có :

$C_{n+r+1}^r=C_{n+r}^r+C_{n+r}^{r-1}=C_{n+r}^r+C_{n+r-1}^{r-1}+C_{n+r-1}^{r-2}=...$

$=C_{n+r}^r+C_{n+r-1}^{r-1}+C_{n+r-2}^{r-2}+...+C_n^0=\sum_{k=0}^{r}C_{n+k}^k$

Có thể chứng minh bằng quy nạp được không ạ

[chanhquocnghiem]

Có thể chứng minh bằng quy nạp được không ạ

Ta cần chứng minh khi $n$ cố định cho trước thì với mọi $r\in\mathbb{N}$, ta có $\sum_{k=0}^{r}C_{n+k}^{k}=C_{n+r+1}^r$ (*)

+ Với $r=0$ thì $C_n^0=C_{n+1}^0$ ---> (*) đúng.

+ Giả sử (*) cũng đúng khi $r=m$ ($m\in\mathbb{N}$), tức là ta có $\sum_{k=0}^{m}C_{n+k}^k=C_{n+m+1}^m$

   $\Rightarrow \sum_{k=0}^{m}C_{n+k}^k+C_{n+m+1}^{m+1}=C_{n+m+1}^m+C_{n+m+1}^{m+1}$

   $\Rightarrow \sum_{k=0}^{m+1}C_{n+k}^k=C_{n+m+2}^{m+1}=C_{n+(m+1)+1}^{m+1}$

   Điều đó chứng tỏ (*) cũng đúng khi $r=m+1$

+ Theo nguyên lý quy nạp thì (*) đúng với mọi $r\in\mathbb{N}$ khi $n$ cố định.