ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHTN NĂM 2017
________________________________ _________________________________
$\boxed{\textbf{ Đề chính thức }}$
MÔN THI: TOÁN (Vòng II)
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề)
Câu I. (3,5 điểm)
1) Giải hệ phương trình
$\left\{\begin{matrix} x+y=\sqrt{x+3y} & & \\ x^2+y^2+xy=3 & & \end{matrix}\right.$
2) Với $a,\ b$ là những số thực dương thỏa mãn $ab+a+b=1$, chứng minh rằng
$$\frac{a}{1+a^2}+\frac{b}{1+b^2}=\frac{1+ab}{\sqrt{2(1+a^2)(1+b^2)}}.$$
Câu II. (2,5 điểm)
1) Giả sử $p,\ q$ là hai số nguyên tố thỏa mãn đẳng thức $$p(p-1)=q(q^2-1).\quad (*)$$
a. Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương $k$ sao cho $p-1=kq,\ q^2-1=kp$.
b. Tìm tất cả các số nguyên tố $p,\ q$ thỏa mãn đẳng thức $(*)$.
2) Với $a,\ b,\ c$ là các số thực dương thỏa mãn $ab+bc+ca+abc=2$, tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $$M=\frac{a+1}{a^2+2a+2}+\frac{b+1}{b^2+2b+2}+\frac{c+1}{c^2+2c+2}.$$
Câu III (3 điểm)
Cho tam giác $ABC$ nhọn với $AB<AC$. $E,\ F$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $CA,\ AB$. Trung trực của đoạn thẳng $EF$ cắt $BC$ tại $D$. Giả sử có điểm $P$ nằm trong $\widehat{EAF}$ và nằm ngoài tam giác $AEF$ sao cho $\widehat{PEC}=\widehat{DEF}$ và $\widehat{PFB}=\widehat{DFE}$. $PA$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $PEF$ tại $Q$ khác $P$.
1) Chứng minh rằng $\widehat{EQF}=\widehat{BAC}+\widehat{EDF}$.
2) Tiếp tuyến tại $P$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $PEF$ cắt các đường thẳng $CA,\ AB$ lần lượt tại $M,\ N$. Chứng minh rằng bốn điểm $C,\ M,\ B,\ N$ cùng nằm trên một đường tròn. Gọi đường tròn này là đường tròn $(K)$.
3) Chứng minh rằng đường tròn $(K)$ tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác $AEF$.
Câu IV. (1 điểm)
Cho $n$ là số nguyên dương, $n\ge 5$. Xét một đa giác lồi $n$ cạnh. Người ta muốn kẻ một số đường chéo của đa giác mà các đường chéo này chia đa giác đã cho thành đúng $k$ miền, mỗi miền là một ngũ giác lồi (hai miền bất kỳ không có điểm trong chung).
a. Chứng minh rằng ta có thể thực hiện được với $n=2018,\ k=672$.
b. Với $n=2017,\ k=672$ ta có thể thực hiện được không? Hãy giải thích.
_______________________
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Edited by tienduc, 20-06-2017 - 19:18.