Chủ đề này có 2 trả lời

[nguyenduy287]

1. cho a,b,c>0; abc=1. CMR 

$\sqrt[4]{2a^2+bc}+\sqrt[4]{2b^2+ac}+\sqrt[4]{2c^2+ab}\leq \frac{ab+bc+ac}{\sqrt[4]{3}}\sqrt{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}$

2. giả sử a,b,c là các số dương sao cho a+b+c=3. Chứng minh rằng 

$abc+\frac{17}{ab+bc+ac}\geq \frac{20}{3}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Baoriven: 09-06-2017 - 22:24

[tuaneee111]

Câu 2.

+ Nếu $ \displaystyle ab+bc+ca\le \frac{9}{4}$ thì bất đẳng thức hiển nhiên đúng.

+ Nếu $ \displaystyle \frac{9}{4}\le ab+bc+ca\le 3$ thì theo $Schur$ ta có: $$ \displaystyle abc\ge \frac{{\left( {a+b+c} \right)\left( {4\left( {ab+bc+ca} \right)-{{{\left( {a+b+c} \right)}}^{2}}} \right)}}{9}=\frac{{4\left( {ab+bc+ca} \right)-9}}{3}$$Khi đó ta được:$$ \displaystyle abc+\frac{{17}}{{ab+bc+ca}}-5\ge \frac{{4\left( {ab+bc+ca} \right)-9}}{3}+\frac{{17}}{{ab+bc+ca}}-5$$$$ = \frac{{4\left( {{{\left( {ab + bc + ca} \right)}^2} - 24\left( {ab + bc + ca} \right) + 51} \right)}}{{3\left( {ab + bc + ca} \right)}} > 0$$Vậy dấu "=" không xảy ra

P/s: Nếu sửa $17$ thành $12$ thì dấu $"="$ sẽ xảy ra

[nguyenduy287]

Câu 2.

+ Nếu $ \displaystyle ab+bc+ca\le \frac{9}{4}$ thì bất đẳng thức hiển nhiên đúng.

+ Nếu $ \displaystyle \frac{9}{4}\le ab+bc+ca\le 3$ thì theo $Schur$ ta có: $$ \displaystyle abc\ge \frac{{\left( {a+b+c} \right)\left( {4\left( {ab+bc+ca} \right)-{{{\left( {a+b+c} \right)}}^{2}}} \right)}}{9}=\frac{{4\left( {ab+bc+ca} \right)-9}}{3}$$Khi đó ta được:$$ \displaystyle abc+\frac{{17}}{{ab+bc+ca}}-5\ge \frac{{4\left( {ab+bc+ca} \right)-9}}{3}+\frac{{17}}{{ab+bc+ca}}-5$$$$ = \frac{{4\left( {{{\left( {ab + bc + ca} \right)}^2} - 24\left( {ab + bc + ca} \right) + 51} \right)}}{{3\left( {ab + bc + ca} \right)}} > 0$$Vậy dấu "=" không xảy ra

P/s: Nếu sửa $17$ thành $12$ thì dấu $"="$ sẽ xảy ra

sorry .... đã sửa đề ....