Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp (O). Đường cao AD,BE,CF cắt nhau tại H. Tiếp tuyến tại B,C cắt nhau tại G. GD cắt EF tại S. Chứng minh HS đi qua trung điểm M của BC
Chứng minh HS đi qua trung điểm M của BC
#1
Đã gửi 14-06-2017 - 16:29
#2
Đã gửi 15-06-2017 - 12:50
Xem trong sách "cẩm nang vẽ thêm hình phụ trong hình học phẳng " của thầy Nguyễn Đức tấn nhé ! (Chương cuối ).
#3
Đã gửi 16-06-2017 - 09:12
Xem trong sách "cẩm nang vẽ thêm hình phụ trong hình học phẳng " của thầy Nguyễn Đức tấn nhé ! (Chương cuối ).
Bạn trả lời thì cũng nên nói rõ. Nói như thế này rất khó!
#4
Đã gửi 16-06-2017 - 19:59
Bổ đề: Cho $ \triangle ABC $, $ P$ là điểm thuộc phân giác trong góc $BAC$.$ E, F $ theo thứ tự là hình chiếu của $P$ lên AB, AC,$Q$ là giao điểm của đường thẳng qua $P$ vuông góc với $BC$ và $EF$. Khi đó $AQ$ đi qua trung điểm $BC$.
Gọi $K, L$ là giao điểm của $ GB, GC$ với $EF$,
$T$ là giao điểm của $EF$ và $BC$ $ AO $ cắt $BC$ tại $X$, $ GX$ cắt $KL$ tại $J$
Ta có $ (TSKL)=G(TSKL)=(TDBC)=-1$, theo bổ đề thì $ J$ là trung điểm $KL$.
suy ra $TS.TJ=TK.TL$ (hệ thức Maclaurin)
Dễ dàng chứng minh được $ MK \parallel CF, ML \parallel BE$,
từ đó $ \angle BMK =\angle BCF =\angle BEF =\angle KLM $
suy ra $ (MKL)$ tiếp xúc $BC$ suy ra $TK.TL=TM^2$ nên $ TS.TJ =TM^2$ suy ra $(SJM)$ tiếp xúc $BC$,
nên $ \angle BMS = \angle MJT$
Ta có $ \dfrac{MC}{JL}=\dfrac{BC}{KL}=\dfrac{HC}{ML}$
do $ \dfrac{ML}{KL}=\dfrac{cosACB}{sinBAC}=\dfrac{HC}{BC}$ suy ra $ \triangle HMC \sim \triangle MJL$
do đó $ \angle BMH =\angle MJT$
Ta có $ \angle BMS =\angle BMH$
suy ra $ \overline{H,M,S}$ hay $HS$ qua trung điểm $BC$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi anhquannbk: 16-06-2017 - 21:04
- quantv2006 yêu thích
#5
Đã gửi 16-06-2017 - 20:54
GXX là gì à bạn anhquanbk.
Nếu gọi T là giao của EF và BC, N là giao của AO và EF, M là trung điểm của BC. Ta có AO vuông góc với EF tại N.
Ta cũng có TO vuông góc với SD $\Rightarrow \angle OTM=\angle SHD$
TMON là tứ giác nội tiếp $\Rightarrow \angle OTM=\angle ONM$
Vậy $\angle ONM=\angle SHD$ $\Rightarrow \angle TDS=\angle TNM$
Vậy tứ giác DMNS nội tiếp.
TA cắt (O) tại K khác A. Ta có K, H, M thẳng hàng.
Ta có TK.TA=TE.TF=TD.TM=TS.TN. Vậy AKSN là tứ giác nội tiếp $\Rightarrow \angle AKS=90^0$
Do $\angle AKM=90^0$ nên S nằm trên KM. Vậy K, S, H, M thẳng hàng.
#6
Đã gửi 20-06-2017 - 15:13
Tại sao TO lại vuông góc với SD ạ ?
#7
Đã gửi 20-06-2017 - 15:31
#8
Đã gửi 21-06-2017 - 14:57
Đường tròn đường kính $AH$ cắt $(O)$ tại $L$ khác $A$. Khi đó ta có $AL, EF, BC$ đồng quy nên $A(LD, BC)=-1$.
$AD$ cắt $(O)$ lần thứ $2$ tại $K$ thì $(LK, BC)=-1$ nên $KL$ đi qua $G$. Giả sử $HM$ cắt $EF$ tại $S$ thì $S, H, M, L$ thẳng hàng.
Do $D$ là trung điểm $HK$ nên $G(DM, HL)=-1=(SM, HL)=G(SM, HL)$ hay $DG$ đi qua $S$
Quyết tâm off dài dài cày hình, số, tổ, rời rạc.
#9
Đã gửi 21-06-2017 - 15:29
bài nhìn đơn giản mà chẳng dể chút nào
" Khi ta đã quyết định con đường cho mình, kẻ được nói ta ngu ngốc chỉ có bản thân ta mà thôi. " _ Rononoa Zoro.
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh