Chủ đề này có 6 trả lời

[nguyenhongsonk612]

Tính thể tích của vật thể khi cho hình giới hạn bởi các đường sau quay quanh trục $Ox$: $y=\sqrt{3-x}$; $y=x-3$; $x=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenhongsonk612: 16-06-2017 - 00:16

[nguyenthanhhung1985]

Lập phương trình hoành độ giao điểm: $x-3=\sqrt{x-3} \iff  x=3 \,\,\text{hoặc}\,\, x=4$

Thể tích của vật thể đã cho.

$V=\pi\int_1^4 |(\sqrt{x-3})^2-(x-3)^2|dx=\pi\int_1^4 |-x^2+7x-12|dx=?$

(Lấy máy tính bấm ra kết quả là xong)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenthanhhung1985: 02-07-2017 - 11:37

[chanhquocnghiem]

Tính thể tích của vật thể khi cho hình giới hạn bởi các đường sau quay quanh trục $Ox$: $y=\sqrt{3-x}$; $y=x-3$; $x=1$

Hình phẳng đã cho có một phần nằm trên và một phần nằm dưới trục $Ox$. Vậy nó quay quanh trục $Ox$ hay trục $Oy$ ?

Nếu nó quay quanh trục $Oy$ thì dễ rồi, chắc ai cũng làm được. Mình sẽ giải trong trường hợp quay quanh trục $Ox$.

 

Xét hai hàm số : $y=\sqrt{3-x}$ và $y=|x-3|$

Phương trình hoành độ giao điểm $\sqrt{3-x}=|x-3|\Rightarrow x=2$ hoặc $x=3$

Như vậy ta có $2$ khoảng : $(1;2)$ và $(2;3)$

Trên $(1;2)$ thì $|x-3|> \sqrt{3-x}$ ; trên $(2;3)$ thì $\sqrt{3-x}> |x-3|$

Vậy thể tích vật thể tròn xoay là :

$V=\pi\left ( \int_{1}^{2}|x-3|^2dx+\int_{2}^{3}(3-x)dx \right )=\frac{17}{6}\ \pi$.

[nguyenhongsonk612]

Hình phẳng đã cho có một phần nằm trên và một phần nằm dưới trục $Ox$. Vậy nó quay quanh trục $Ox$ hay trục $Oy$ ?

Nếu nó quay quanh trục $Oy$ thì dễ rồi, chắc ai cũng làm được. Mình sẽ giải trong trường hợp quay quanh trục $Ox$.

 

Xét hai hàm số : $y=\sqrt{3-x}$ và $y=|x-3|$

Phương trình hoành độ giao điểm $\sqrt{3-x}=|x-3|\Rightarrow x=2$ hoặc $x=3$

Như vậy ta có $2$ khoảng : $(1;2)$ và $(2;3)$

Trên $(1;2)$ thì $|x-3|> \sqrt{3-x}$ ; trên $(2;3)$ thì $\sqrt{3-x}> |x-3|$

Vậy thể tích vật thể tròn xoay là :

$V=\pi\left ( \int_{1}^{2}|x-3|^2dx+\int_{2}^{3}(3-x)dx \right )=\frac{17}{6}\ \pi$.

Bạn ơi, hình như thế khi quay sẽ thành hình như thế nào vậy

[chanhquocnghiem]

Bạn ơi, hình như thế khi quay sẽ thành hình như thế nào vậy

Đầu tiên hãy vẽ chính xác đồ thị các đường : $y=\sqrt{3-x}$ ; $y=x-3$ ; $x=1$ trên hệ tọa độ $Oxy$ (chỉ cần vẽ trên đoạn $[1;3]$)

Hình phẳng sẽ được giới hạn bởi $3$ đường đó.

Bây giờ thì tưởng tượng xem khi hình phẳng đó quay quanh trục $Ox$ thì sẽ tạo thành vật thể như thế nào ?

Vật thể đó sẽ là một vật tròn xoay đặc, có hình dạng hơi "quái dị", gồm 2 phần : trên đoạn $[1;2]$ thì biên của nó là mặt nón, còn trên đoạn $[2;3]$ thì biên là một mặt cong lồi. Mặt cong này không có tên nên rất khó diễn tả. Cách tốt nhất là vẽ thật chính xác hình phẳng rồi sẽ tưởng tượng ra.

[nguyenthanhhung1985]

tại sao bạn xét hai hàm ban đầu. hãy giải thích xem.

[chanhquocnghiem]

tại sao bạn xét hai hàm ban đầu. hãy giải thích xem.

Trong bài này, hình phẳng quay quanh trục $Ox$ giới hạn bởi $3$ đường : $y=f_1(x)=\sqrt{3-x}$ ; $y=f_2(x)=x-3$ ; $x=1$

Nếu một mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại điểm $x$ và cắt khối tròn xoay thì thiết diện sẽ là hình tròn có bán kính là $r(x)=\max\left ( |f_1(x)|,|f_2(x)| \right )$ (nghĩa là giá trị lớn nhất trong 2 giá trị $|f_1(x)|$ và $|f_2(x)|$)

Do đó, cần phải xét xem trong khoảng nào thì $|f_1(x)|> |f_2(x)|$ ; trong khoảng nào thì $|f_2(x)|> |f_1(x)|$

Muốn vậy, phải xét 2 hàm $y_1=|f_1(x)|=\sqrt{3-x}$ và $y_2=|f_2(x)|=|x-3|$

Dễ thấy, trên $(1;2)$ thì $|x-3|> \sqrt{3-x}$ ; còn trên $(2;3)$ thì $\sqrt{3-x}> |x-3|$

Từ đó tính được thể tích vật thể tròn xoay như đã làm ở trên.