Chủ đề này có 1 trả lời

[Nerus]

Cho $\bigtriangleup ABC$ nội tiếp $\left ( O \right )$. $H$ là hình chiếu của $A$ lên $BC$. $AO$ cắt $\left ( O \right )$ tại $N$. $NC,NB$ cắt tiếp tuyến của $\left ( O \right )$ tại $A$ ở $P,Q$. $M$ là giao điểm của $BP$ và $CQ$. $AM$ giao $\left ( O \right ), BC$ ở $X,Y$.  $YH$ cắt $\left ( O \right )$ tại $K$. Chứng minh $\frac{YH}{YK}= \frac{XM}{XA}$

Hình gửi kèm

• 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nerus: 19-06-2017 - 13:10

[NHN]

bổ đề 1: cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp $(O)$, không có cặp cạnh song song điểm Miquel là $T$ , giao của $AD,BC$ là $P$, giao của $AB,CD$ là $Q$, giao của $AC,BD$ là $R$ thì ta có $OT$ đi qua $R$ và vuông với $PQ$

ta có $Q,P,C,B$ thuộc 1 đường tròn có tâm là $V$ . Giao của $VX$ và $(ABC)$ là $Y'$ thì ta có $Y'$ là điểm Miquel của tứ giác $PQBC$ vậy ta có $VY'$ vuông $Y'N$ và  $NY',BC,PQ$ đồng qui tại $U$ vậy ta có $NY'.NU=NP.NQ=NA^2$ vậy $AY'$ vuông $Y'N$ vậy $V,A,X,Y$ thẳng vậy $U(YM,XA)=-1$ vậy 

đường thẳng qua $N$ vuông $BC$ cắt $(ABC),BC$ tại $K',L$ vậy ta có $U,N,L,A$ thuộc 1 đường tròn vậy $\widehat {AK'H}=90-\widehat{K'LA}=90-\widehat{NUA}= \widehat{ANY}= \widehat{AK'Y}$ vậy $K',H,Y$ thẳng vậy $K'$ trùng $K$ vậy ta có $AK$ song song $XH$ vậy $\frac{YH}{YK}= \frac{YX}{YA} = \frac{XM}{XA}$