Chủ đề này có 2 trả lời

[trambau]

Bài toán: Giải phương trình:

$$\sqrt{x^2+91}=\sqrt{\sqrt{x^4+2x^2\sqrt{x-2}+x-93}-2}+x^4+2x^2\sqrt{x-2}+x-93$$

[tuaneee111]

Nếu mình nhớ không nhầm thì đây là đề Olympic 30/4/2014 của THPT Phan Châu Trinh!

Đặt $t = \sqrt {{x^4} + 2{x^2}\sqrt {x - 2}  + x - 93}  \geqslant 0$$ \Rightarrow {t^2} = {\left( {{x^2} + \sqrt {x - 2} } \right)^2} - 91$.

Ta có hệ phương trình: $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}{{\left( {{{x}^{2}}+\sqrt{{x-2}}} \right)}^{2}}={{t}^{2}}+91\\\sqrt{{{{x}^{2}}+91}}=\sqrt{{t-2}}+{{t}^{2}}\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{{x}^{2}}+\sqrt{{x-2}}=\sqrt{{{{t}^{2}}+91}}\\{{t}^{2}}+\sqrt{{t-2}}=\sqrt{{{{x}^{2}}+91}}\end{array} \right.$$$ \Rightarrow \left( {x - t} \right)\left( {x + t} \right) + \frac{{x - t}}{{\sqrt {x - 2}  + \sqrt {t - 2} }} + \frac{{\left( {x - t} \right)\left( {x + t} \right)}}{{\sqrt {{t^2} + 91}  + \sqrt {{x^2} + 91} }} = 0\left( {x,t \geqslant 2} \right)$$$$ \Leftrightarrow \left( {x - t} \right)\left( {x + t + \frac{1}{{\sqrt {t - 2}  + \sqrt {x - 2} }} + \frac{{x + t}}{{\sqrt {{t^2} + 91}  + \sqrt {{x^2} + 91} }}} \right) = 0 \Leftrightarrow x = t$$Suy ra được $$\sqrt {{x^2} + 91}  = \sqrt {x - 2}  + {x^2} \Leftrightarrow \left( {x - 3} \right)\left( {\frac{{x + 3}}{{\sqrt {{x^2} + 91}  + 10}} - \frac{1}{{\sqrt {x - 2}  + 1}} - \left( {x + 3} \right)} \right) = 0 \Leftrightarrow x = 3$$Vì $\frac{{x + 3}}{{\sqrt {{x^2} + 91}  + 10}} - \frac{1}{{\sqrt {x - 2}  + 1}} - \left( {x + 3} \right) < \frac{{x + 3}}{{10}} - \frac{1}{{\sqrt {x - 2}  + 1}} - \left( {x + 3} \right) < 0$

 

[trambau]

Nếu mình nhớ không nhầm thì đây là đề Olympic 30/4/2014 của THPT Phan Châu Trinh!

Đặt $t = \sqrt {{x^4} + 2{x^2}\sqrt {x - 2}  + x - 93}  \geqslant 0$$ \Rightarrow {t^2} = {\left( {{x^2} + \sqrt {x - 2} } \right)^2} - 91$.

Ta có hệ phương trình: $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}{{\left( {{{x}^{2}}+\sqrt{{x-2}}} \right)}^{2}}={{t}^{2}}+91\\\sqrt{{{{x}^{2}}+91}}=\sqrt{{t-2}}+{{t}^{2}}\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{{x}^{2}}+\sqrt{{x-2}}=\sqrt{{{{t}^{2}}+91}}\\{{t}^{2}}+\sqrt{{t-2}}=\sqrt{{{{x}^{2}}+91}}\end{array} \right.$$$ \Rightarrow \left( {x - t} \right)\left( {x + t} \right) + \frac{{x - t}}{{\sqrt {x - 2}  + \sqrt {t - 2} }} + \frac{{\left( {x - t} \right)\left( {x + t} \right)}}{{\sqrt {{t^2} + 91}  + \sqrt {{x^2} + 91} }} = 0\left( {x,t \geqslant 2} \right)$$$$ \Leftrightarrow \left( {x - t} \right)\left( {x + t + \frac{1}{{\sqrt {t - 2}  + \sqrt {x - 2} }} + \frac{{x + t}}{{\sqrt {{t^2} + 91}  + \sqrt {{x^2} + 91} }}} \right) = 0 \Leftrightarrow x = t$$Suy ra được $$\sqrt {{x^2} + 91}  = \sqrt {x - 2}  + {x^2} \Leftrightarrow \left( {x - 3} \right)\left( {\frac{{x + 3}}{{\sqrt {{x^2} + 91}  + 10}} - \frac{1}{{\sqrt {x - 2}  + 1}} - \left( {x + 3} \right)} \right) = 0 \Leftrightarrow x = 3$$Vì $\frac{{x + 3}}{{\sqrt {{x^2} + 91}  + 10}} - \frac{1}{{\sqrt {x - 2}  + 1}} - \left( {x + 3} \right) < \frac{{x + 3}}{{10}} - \frac{1}{{\sqrt {x - 2}  + 1}} - \left( {x + 3} \right) < 0$

Mình không nhớ là ở đâu, nhưng theo mình nếu giải bài này ta có thể dùng đạo hàm sẽ nhanh và gọn hơn