5 replies to this topic

[Drago]

Bài 1: Cho $x,y,z>0$. Chứng minh: $\frac{1}{x+y+z}\left ( \frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}+\frac{zx}{y} \right )+\frac{8xyz}{\left ( x+y \right )\left ( y+z \right )\left ( z+x \right )} \ge 2$(Nguyễn Minh Trí)

                                                                                                   

Bài 2: Cho $a,b,c$ là độ dài ba cạnh của tam giác và $abc \ge 1$. Chứng minh:

$\sum _{a,b,c}\frac{b+c-a}{\sqrt{a^2+3}}\geq \frac{3}{2}$    (Đỗ Hữu Đức Thịnh)                                                                                    

 

Bài 3: Cho $a,b,c$ là các số thực dương thoả mãn $abc \ge 1$. Chứng minh: $\sum _{a,b,c}\frac{2(b+c)+a}{\sqrt[3]{a^2+4}}\geq \frac{15}{\sqrt[3]{5}}$     (Đỗ Hữu Đức Thịnh)                                                                                                                      

[Hoang Dinh Nhat]

Bài 1: Cho $x,y,z>0$. Chứng minh: $\frac{1}{x+y+z}\left ( \frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}+\frac{zx}{y} \right )+\frac{8xyz}{\left ( x+y \right )\left ( y+z \right )\left ( z+x \right )} \ge 2$(Nguyễn Minh Trí)

                                                                                                   

                                                                                                              

Không mất tính tổng quát chuẩn hóa: $x+y+z=3$

Đặt $VT$ là $P$

Theo $AM-GM$, ta có: $P\geq \frac{27xyz}{(x+y+z)^3}+\frac{x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2}{xyz(x+y+z)}$

Cần chứng minh $\frac{27xyz}{(x+y+z)^3}+\frac{x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2}{xyz(x+y+z)}$$\geq 2$

Đặt $x+y+z=p;xy+yz+zx=q;xyz=r$

BĐT trở thành: $r+\frac{q^2-6r}{3r}\geq 2$

Ta có: $r+\frac{q^2-6r}{3r}=\frac{3r^2-6r+q^2}{3r}=\frac{3r(r-2)+q^2}{3r}$

Cần cm: $3r(r-2)+q^2\geq 6r\Leftrightarrow 3r(r-4)+q^2\geq 0$

Theo $Schur$, ta có: $ r\geq \frac{4q-9}{3}$

BĐT trở thành: $\frac{1}{3}(q-3)(19q-63)\geq 0$ (Đúng vì $q\leq 3$)

Dấu "=" xảy ra khi: $x=y=z$

Edited by Hoang Dinh Nhat, 27-06-2017 - 16:51.

[duylax2412]

Bài 1: (Cách khác)

Bất đẳng thức viết lại:

$\frac{\sum x^2y^2}{xyz(x+y+z)}+\frac{8xyz}{\prod (x+y)} \geq 2$ $(*)$

Chú ý ta có hai đẳng thức sau:

$x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2-xyz(x+y+z)=\frac{1}{2}[x^2(y-z)^2+y^2(z-x)^2+z^2(x-y)^2]$ và:

$(x+y)(y+z)(z+x)-8xyz=x(y-z)^2+y(z-x)^2+z(x-y)^2$.

Vậy: $(*) \Leftrightarrow \frac{\sum x^2(y-z)^2}{2xyz(x+y+z)}-\frac{x(y-z)^2}{\prod (x+y)}$

$\Leftrightarrow S_x(y-z)^2+S_y(z-x)^2+S_z(x-y)^2 \geq 0$

Trong đó:

$S_x=\frac{x}{2yz(x+y+z)}-\frac{x}{\prod (x+y)}>0$

bởi vì nếu chuẩn hóa $x+y+z=1$ thì hiển nhiên đúng.

Tương tự ta có:

$\ S_y=\frac{y}{2zx(x+y+z)}-\frac{y}{\prod (x+y)}>0; S_z=\frac{z}{2xy(x+y+z)}-\frac{z}{\prod{(x+y)}}>0$

Suy ra đpcm

 

 

P/s:xem lại giùm em nhé,dạo này hay sai lắm.

[victoranh]

em vẫn chưa hiểu chuẩn hóa , mong các bác giúp

[victoranh]

 

                                                                                                   

Bài 2: Cho $a,b,c$ là độ dài ba cạnh của tam giác và $abc \ge 1$. Chứng minh:

$\sum _{a,b,c}\frac{b+c-a}{\sqrt{a^2+3}}\geq \frac{3}{2}$    (Đỗ Hữu Đức Thịnh)                                                                                    

 

                                                                                                                     

từ đk suy ra ab+bc+ca>=3, thay vào 3 ở mẫu, sau đó cô-si căn ở mẫu là ra, em k biết gõ latex nên thông cảm ạ

[victoranh]

bài 3 cũng tương tự bài 2