Tìm k nhỏ nhất sao cho bất đẳng thức đúng với mọi a,b,c
$k(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1) \geq (a+b+c)^2$
$k(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1) \geq (a+b+c)^2$
#1
Posted 05-07-2017 - 23:25
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức
#2
Posted 06-07-2017 - 09:19
Tại $a=b=c=\frac{1}{\sqrt{2}}$ thì ta có $k \geq \frac{4}{3}$
Vậy ta sẽ chứng minh tại $k=\frac{4}{3}$ thì ta có bất đẳng thức đúng.
Ta cần chứng minh $(a^{2}+1)(b^{2}+1)(c^{2}+1) \geq \frac{3}{4}(a+b+c)^{2}$
Ta có $\frac{3}{4}(a.1+(b+c).1)^{2} \leq\frac{3}{4}(a^{2}+1)((b+c)^{2}+1)$
Bây giờ ta cần chứng minh $(b^{2}+1)(c^{2}+1) \geq \frac{3}{4}((b+c)^{2}+1)$
$\Leftrightarrow 4b^{2}c^{2}-4bc+1+b^{2}-2bc+c^{2} \geq 0$
$\Leftrightarrow (2bc-1)^{2}+(b-c)^{2} \geq 0$ (Hiển nhiên là đúng)
Vậy $k$ nhỏ nhất bằng $\frac{4}{3}$
Edited by NHoang1608, 06-07-2017 - 09:33.
- HoangKhanh2002, Hoang Dinh Nhat, MoMo123 and 1 other like this
The greatest danger for most of us is not that our aim is too high and we miss it, but that it is too low and we reach it.
----- Michelangelo----
#3
Posted 07-07-2017 - 15:02
Tại $a=b=c=\frac{1}{\sqrt{2}}$ thì ta có $k \geq \frac{4}{3}$
Vậy ta sẽ chứng minh tại $k=\frac{4}{3}$ thì ta có bất đẳng thức đúng.
Ta cần chứng minh $(a^{2}+1)(b^{2}+1)(c^{2}+1) \geq \frac{3}{4}(a+b+c)^{2}$
Ta có $\frac{3}{4}(a.1+(b+c).1)^{2} \leq\frac{3}{4}(a^{2}+1)((b+c)^{2}+1)$
Bây giờ ta cần chứng minh $(b^{2}+1)(c^{2}+1) \geq \frac{3}{4}((b+c)^{2}+1)$
$\Leftrightarrow 4b^{2}c^{2}-4bc+1+b^{2}-2bc+c^{2} \geq 0$
$\Leftrightarrow (2bc-1)^{2}+(b-c)^{2} \geq 0$ (Hiển nhiên là đúng)
Vậy $k$ nhỏ nhất bằng $\frac{4}{3}$
Một cách khác, không biết có hay hơn không
Cho $a=b=c=t$ thì bất đẳng thức trở thành $k(t^{2}+1)^{3}\geq 9t^{2}.$
Mà theo bất đẳng thức $Cauchy$ ta có: $(t^{2}+1)^{3}=(t^{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2})^{3}\geq \frac{27}{4}t^{2},$ do đó $k\geq \frac{4}{3}.$ Ta sẽ chứng minh $k=\frac{4}{3}$ là giá trị nhỏ nhất cần tìm, tức chứng minh bất đẳng thức sau đây đúng:
$(a^{2}+1)(b^{2}+1)(c^{2}+1)\geq \frac{3}{4}(a+b+c)^{2}$ $(1)$
Thay $(a, b, c)$ bởi $(\frac{1}{\sqrt{2}}a, \frac{1}{\sqrt{2}}b, \frac{1}{\sqrt{2}}c)$ thì $(1)$ trở thành:
$(a^{2}+2)(b^{2}+2)(c^{2}+2)\geq 3(a+b+c)^{2}.$
Áp dụng bất đẳng thức $Cauchy-Schwarz$ ta có:
$(a+b+c)^{2}\leq (a^{2}+2)\left [ 1+\frac{1}{2}(b+c)^{2} \right ]\Leftrightarrow 3(a+b+c)^{2}\leq (a^{2}+2)\left [ 3+\frac{3}{2}(b+c)^{2} \right ],$ cho nên ta chỉ cần chứng minh
$(b^{2}+2)(c^{2}+2)\geq 3+\frac{3}{2}(b+c)^{2}\Leftrightarrow \frac{1}{2}(b^{2}+c^{2})+b^{2}c^{2}+1\geq 3bc.$ Hiển nhiên đúng vì $\frac{1}{2}(b^{2}+c^{2})\geq bc$ và $b^{2}c^{2}+1\geq 2bc.$
Mà với $a=b=c=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}$ thì $(1)$ trở thành đẳng thức nên ta kết luận $k_{min}=\frac{4}{3}.$
- NHoang1608 and MoMo123 like this
1 user(s) are reading this topic
0 members, 1 guests, 0 anonymous users