Chủ đề này có 2 trả lời

[Thao Meo]

Tìm k nhỏ nhất sao cho bất đẳng thức đúng với mọi a,b,c
$k(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1) \geq (a+b+c)^2$

[NHoang1608]

Tại $a=b=c=\frac{1}{\sqrt{2}}$ thì ta có $k \geq \frac{4}{3}$

Vậy ta sẽ chứng minh tại $k=\frac{4}{3}$ thì ta có bất đẳng thức đúng.

 

Ta cần chứng minh $(a^{2}+1)(b^{2}+1)(c^{2}+1) \geq \frac{3}{4}(a+b+c)^{2}$

 

Ta có $\frac{3}{4}(a.1+(b+c).1)^{2} \leq\frac{3}{4}(a^{2}+1)((b+c)^{2}+1)$

Bây giờ ta cần chứng minh $(b^{2}+1)(c^{2}+1) \geq \frac{3}{4}((b+c)^{2}+1)$

                                            $\Leftrightarrow 4b^{2}c^{2}-4bc+1+b^{2}-2bc+c^{2} \geq 0$

                                            $\Leftrightarrow (2bc-1)^{2}+(b-c)^{2} \geq 0$  (Hiển nhiên là đúng)

Vậy $k$ nhỏ nhất bằng $\frac{4}{3}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NHoang1608: 06-07-2017 - 09:33

[Zz Isaac Newton Zz]

Tại $a=b=c=\frac{1}{\sqrt{2}}$ thì ta có $k \geq \frac{4}{3}$

Vậy ta sẽ chứng minh tại $k=\frac{4}{3}$ thì ta có bất đẳng thức đúng.

 

Ta cần chứng minh $(a^{2}+1)(b^{2}+1)(c^{2}+1) \geq \frac{3}{4}(a+b+c)^{2}$

 

Ta có $\frac{3}{4}(a.1+(b+c).1)^{2} \leq\frac{3}{4}(a^{2}+1)((b+c)^{2}+1)$

Bây giờ ta cần chứng minh $(b^{2}+1)(c^{2}+1) \geq \frac{3}{4}((b+c)^{2}+1)$

                                            $\Leftrightarrow 4b^{2}c^{2}-4bc+1+b^{2}-2bc+c^{2} \geq 0$

                                            $\Leftrightarrow (2bc-1)^{2}+(b-c)^{2} \geq 0$  (Hiển nhiên là đúng)

Vậy $k$ nhỏ nhất bằng $\frac{4}{3}$

Một cách khác, không biết có hay hơn không   

Cho $a=b=c=t$ thì bất đẳng thức trở thành $k(t^{2}+1)^{3}\geq 9t^{2}.$

Mà theo bất đẳng thức $Cauchy$ ta có: $(t^{2}+1)^{3}=(t^{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2})^{3}\geq \frac{27}{4}t^{2},$ do đó $k\geq \frac{4}{3}.$ Ta sẽ chứng minh $k=\frac{4}{3}$ là giá trị nhỏ nhất cần tìm, tức chứng minh bất đẳng thức sau đây đúng:

$(a^{2}+1)(b^{2}+1)(c^{2}+1)\geq \frac{3}{4}(a+b+c)^{2}$ $(1)$

Thay $(a, b, c)$ bởi $(\frac{1}{\sqrt{2}}a, \frac{1}{\sqrt{2}}b, \frac{1}{\sqrt{2}}c)$ thì $(1)$ trở thành:

$(a^{2}+2)(b^{2}+2)(c^{2}+2)\geq 3(a+b+c)^{2}.$

Áp dụng bất đẳng thức $Cauchy-Schwarz$ ta có: 

$(a+b+c)^{2}\leq (a^{2}+2)\left [ 1+\frac{1}{2}(b+c)^{2} \right ]\Leftrightarrow 3(a+b+c)^{2}\leq (a^{2}+2)\left [ 3+\frac{3}{2}(b+c)^{2} \right ],$ cho nên ta chỉ cần chứng minh

$(b^{2}+2)(c^{2}+2)\geq 3+\frac{3}{2}(b+c)^{2}\Leftrightarrow \frac{1}{2}(b^{2}+c^{2})+b^{2}c^{2}+1\geq 3bc.$ Hiển nhiên đúng vì $\frac{1}{2}(b^{2}+c^{2})\geq bc$ và $b^{2}c^{2}+1\geq 2bc.$

Mà với $a=b=c=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}$ thì $(1)$ trở thành đẳng thức nên ta kết luận $k_{min}=\frac{4}{3}.$