Dùng phương pháp U.C.T. Cho các số dương a,b,c thỏa mãn $a+b+c=3$. Cm:$\sum \frac{1}{a^2}\geq \sum a^2$
Dùng phương pháp U.C.T. Cho các số dương a,b,c thỏa mãn $a+b+c=3$. Cm:$\sum \frac{1}{a^2}\geq \sum a^2$
#1
Đã gửi 06-07-2017 - 19:44
#2
Đã gửi 06-07-2017 - 21:19
Anh ơi, cho em xin cách giải của bài này mà không cần dùng phương pháp UCT
#3
Đã gửi 06-07-2017 - 21:22
Bạn có thể biến đổi tương đương
dpcm $\Leftrightarrow \sum \left ( \frac{1}{a^{2}}-a^{2} \right )\geq 0\Leftrightarrow \sum \left ( \frac{1}{a}-a \right )\left ( \frac{1}{a}+a\right )\geq 0$
Áp dụng bđt Cosi ta sẽ CM $2\sum \left ( \frac{1}{a}-a \right )\geq 0\Leftrightarrow \sum \frac{1}{a}-3\geq 0\Leftrightarrow \sum \frac{1}{a}\geq \frac{9}{\sum a}$ ( đúng )
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nerus: 06-07-2017 - 21:22
- Subtract Zero và khgisongsong thích
$\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}a^k\geq \left (\prod_{k=1}^{n}a^k \right )^{\frac{1}{n}}$
#4
Đã gửi 06-07-2017 - 21:32
$\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}\geq a^{2}+b^{2}+c^{2} \Leftrightarrow \frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}+2(ab+bc+ca)\geq (a+b+c)^{2}\Leftrightarrow \frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}+2(ab+bc+ca)\geq 9$\
Ta có: $\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}\geq \frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\doteq \frac{a+b+c}{abc}\doteq \frac{3}{abc}$. (1)
Khi đó ta đi chứng minh: $\frac{3}{abc}+2(ab+bc+ca)\geq 9$
Thật vậy: $(ab+bc+ca)^{2}\geq 3(ab.bc+bc.ca+ca.ab)\doteq 3(a+b+c)abc\doteq 9abc$
$\Rightarrow ab+bc+ca\geq 3\sqrt{abc}\Rightarrow 2(ab+bc+ca)\geq 6\sqrt{abc}$ (2)
Từ (1) và (2) $\Rightarrow \frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}+2(ab+bc+ca)\geq \frac{3}{abc}+6\sqrt{abc}\doteq \frac{3}{abc}+3\sqrt{abc}+3\sqrt{abc}\geq 3\sqrt[3]{\frac{3}{abc}.3\sqrt{abc}.3\sqrt{abc}}\doteq 3.3=9$ (BĐT Cô-si)
$\Rightarrow$ đpcm
Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow$ a=b=c=1
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi diemdaotran: 06-07-2017 - 21:37
$\sqrt{M}.\sqrt{F}=\sqrt{MF}$
#5
Đã gửi 06-07-2017 - 22:49
mình cần dùng phương pháp U.C.T cơ mọi người
#6
Đã gửi 07-07-2017 - 09:17
SD pp UCT
Ta đi CM $\frac{1}{a^2}-a^2\geq{4a-4}$
Và xét các TH còn lại.
AQ02
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh