Không mất tính tổng quát. Ta có thể giả sử $r$ cột đầu và $r$ dòng đầu là đltt. Xét ma trận con chính cấp $r$ đầu tiên. Nếu định thức này bằng $0$ thì $r$ dòng đó pttt. Tức là tồn tại các hằng số $c_k$ sao cho
\[{c_1}\left( {{a_{11}}, \ldots ,{a_{1r}}} \right) + \cdots + {c_r}\left( {{a_{r1}}, \ldots ,{a_{rr}}} \right) = \left( {0, \ldots ,0} \right)\]
Cố định $i > r$. Do $r$ cột đầu là đltt cực đại nên có
\[\left( {{a_{1i}}, \ldots ,{a_{ri}}} \right) = {b_1}\left( {{a_{11}}, \ldots ,{a_{r1}}} \right) + \cdots + {b_r}\left( {{a_{1r}}, \ldots ,{a_{rr}}} \right)\]
Từ đó
\[{c_1}{a_{1i}} + \cdots + {c_r}{a_{ri}} = {b_1}\left( {{c_1}{a_{11}} + \cdots + {c_r}{a_{r1}}} \right) + \cdots + {b_r}\left( {{c_1}{a_{1r}} + \cdots + {c_r}{a_{rr}}} \right) = 0\]
Cùng với hệ thức ban đầu và cho $i$ chạy trên mọi giá trị $i > r$ suy ra $r$ dòng đầu tiên của $A$ pttt. Vô lý.
Nếu $A$ khả nghịch thì ma trận phụ hợp của $A$ cũng khả nghịch và do đó hạng là $n$.
Nếu hạng của $A < n - 1$ thì theo định nghĩa ma trận phụ hợp thì ma trận phụ hợp là ma trận $0$.
Nếu hạng của $A = n-1$. Áp dụng bđt Sylvester thì hạng ma trận phụ hợp sẽ bằng $1$.