Chủ đề này có 3 trả lời

[bangbang1412]

$1)$ Cho ma trận $A$ có hạng là $r$ . Chứng minh rằng ma trận tạo từ $r$ hàng độc lập tuyến tính và $r$ cột độc lập tuyến tính là một ma trận có định thức khác $0$ 

$2)$ Cho ma trận $A$ có hạng là $r$ . Xác định hạng của ma trận phụ hợp của $A$ 

hai bài này hay mà nhẹ nhàng . 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 08-07-2017 - 12:47

[nthkhnimqt]

Không mất tính tổng quát. Ta có thể giả sử $r$ cột đầu và $r$ dòng đầu là đltt. Xét ma trận con chính cấp $r$ đầu tiên. Nếu định thức này bằng $0$ thì $r$ dòng đó pttt. Tức là tồn tại các hằng số $c_k$ sao cho
\[{c_1}\left( {{a_{11}}, \ldots ,{a_{1r}}} \right) +  \cdots  + {c_r}\left( {{a_{r1}}, \ldots ,{a_{rr}}} \right) = \left( {0, \ldots ,0} \right)\]

Cố định $i > r$. Do $r$ cột đầu là đltt cực đại nên có 

\[\left( {{a_{1i}}, \ldots ,{a_{ri}}} \right) = {b_1}\left( {{a_{11}}, \ldots ,{a_{r1}}} \right) +  \cdots  + {b_r}\left( {{a_{1r}}, \ldots ,{a_{rr}}} \right)\]

Từ đó 

\[{c_1}{a_{1i}} +  \cdots  + {c_r}{a_{ri}} = {b_1}\left( {{c_1}{a_{11}} +  \cdots  + {c_r}{a_{r1}}} \right) +  \cdots  + {b_r}\left( {{c_1}{a_{1r}} +  \cdots  + {c_r}{a_{rr}}} \right) = 0\]

Cùng với hệ thức ban đầu và cho $i$ chạy trên mọi giá trị $i > r$ suy ra $r$ dòng đầu tiên của $A$ pttt. Vô lý.


Nếu $A$ khả nghịch thì ma trận phụ hợp của $A$ cũng khả nghịch và do đó hạng là $n$.
Nếu hạng của $A < n - 1$ thì theo định nghĩa ma trận phụ hợp   thì ma trận phụ hợp là ma trận $0$.
Nếu hạng của $A = n-1$. Áp dụng bđt Sylvester thì hạng ma trận phụ hợp sẽ bằng $1$.

[bangbang1412]

Không mất tính tổng quát. Ta có thể giả sử $r$ cột đầu và $r$ dòng đầu là đltt. Xét ma trận con chính cấp $r$ đầu tiên. Nếu định thức này bằng $0$ thì $r$ dòng đó pttt. Tức là tồn tại các hằng số $c_k$ sao cho
\[{c_1}\left( {{a_{11}}, \ldots ,{a_{1r}}} \right) +  \cdots  + {c_r}\left( {{a_{r1}}, \ldots ,{a_{rr}}} \right) = \left( {0, \ldots ,0} \right)\]

Cố định $i > r$. Do $r$ cột đầu là đltt cực đại nên có 

\[\left( {{a_{1i}}, \ldots ,{a_{ri}}} \right) = {b_1}\left( {{a_{11}}, \ldots ,{a_{r1}}} \right) +  \cdots  + {b_r}\left( {{a_{1r}}, \ldots ,{a_{rr}}} \right)\]

Từ đó 

\[{c_1}{a_{1i}} +  \cdots  + {c_r}{a_{ri}} = {b_1}\left( {{c_1}{a_{11}} +  \cdots  + {c_r}{a_{r1}}} \right) +  \cdots  + {b_r}\left( {{c_1}{a_{1r}} +  \cdots  + {c_r}{a_{rr}}} \right) = 0\]

Cùng với hệ thức ban đầu và cho $i$ chạy trên mọi giá trị $i > r$ suy ra $r$ dòng đầu tiên của $A$ pttt. Vô lý.


Nếu $A$ khả nghịch thì ma trận phụ hợp của $A$ cũng khả nghịch và do đó hạng là $n$.
Nếu hạng của $A < n - 1$ thì theo định nghĩa ma trận phụ hợp   thì ma trận phụ hợp là ma trận $0$.
Nếu hạng của $A = n-1$. Áp dụng bđt Sylvester thì hạng ma trận phụ hợp sẽ bằng $1$.

Không biết có cách nào không dùng sylvester cho trường hợp $n-1$ không . 

Đây là cách giải bài $1$ của em . 

Không giảm tổng quát ta giả sử $r$ hàng đầu và $r$ cột đầu lần lượt độc lập tuyến tính . Do nó độc lập tuyến tính mà $rank(A)=r$ nên nó độc lập tuyến tính cực đại . Xét ma trận $r \times n$ từ $r$ hàng đầu , rõ ràng ma trận này có hạng là $r$ do $r$ hàng độc lập tuyến tính nên nó chứa một định thức của ma trận con $r \times r$ gọi là $B$ không suy biến . Giờ xét $B$ theo dạng cột , khi đó nó cũng độc lập tuyến tính cực đại . Gọi $r$ cột là $(h_{1},...h_{r})$ khi đó các cột của ma trận $r^{2}$ nằm góc trái trên giả sử là $a_{1},...a_{r}$ thì $a_{1},...a_{r} \in span(h_{1},...h_{r})$ . Bây giờ xét ma trận $n \times r$ có các cột là $k_{1},...k_{r}$ tạo bởi $r$ cột đầu và ma trận kéo dài của $B$ là $B'$ . Khi đó $column \in span (k_{1},...k_{r})$ . Nói riêng $(h_{1},...h_{r}) \in span(a_{1},...a_{r})$ . Vậy $(a_{1},...a_{r})$ độc lập tuyến tính . Ta có đpcm

[nthkhnimqt]

Có. Nhưng mà phức tạp