Chủ đề này có 5 trả lời

[Ben Beck]

cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $abc=1$.Chứng minh: $\sum \frac{1}{a^2+a+1}\leq 1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi trambau: 14-07-2017 - 10:26

[Duy Thai2002]

bđt sai <=> a=, b=$\frac{1}{8}$,c=1

[hotbotvmf]

bđt sai <=> a=, b=$\frac{1}{8}$,c=1

Đề cho abc=1 mà

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hotbotvmf: 09-07-2017 - 15:31

[Duy Thai2002]

 

bđt sai <=> a=, b=$\frac{1}{8}$,c=1

Đề cho abc=1 mà

 

 

Ý bạn là gì

[trambau]

bđt sai <=> a=, b=$\frac{1}{8}$,c=1

 

cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $abc=1$.Chứng minh: $\sum \frac{1}{a^2+a+1}\leq 1$

Theo mình đề bài phải là $\sum \frac{1}{a^2+a+1}\ge1$

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi trambau: 14-07-2017 - 10:31

[toannguyenebolala]

Đổi biến $(a;b;c)\rightarrow (\frac{xy}{z^2};\frac{yz}{x^2};\frac{zx}{y^2})$. 

Như vậy, ta cần chứng minh $\sum \frac{z^4}{x^2y^2+xyz^2+z^4}\geq 1$.

Dễ thấy $L.H.S\geq \frac{(x^2+y^2+z^2)^2}{(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)+xyz(x+y+z)+(x^4+y^4+z^4)}$. Như vậy, ta cần chứng minh:

$(x^2+y^2+z^2)^2\geq(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)+xyz(x+y+z)+(x^4+y^4+z^4)$. Hay $\sum y^2z^2\geq xyz(x+y+z)$. Điều này tương đương với 

$\sum (xy-yz)^2\geq 0$ (đúng). Vậy, ta có điều cần chứng minh.

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=1$.