Cho tam giác ABC đường tròn nội tiếp (I) tiếp xúc BC tại D, L đối xứng với D qua I. AL cắt BC tại K. Chứng minh BK=CD
Chứng minh BK=CD.
#1
Đã gửi 15-07-2017 - 07:31
#2
Đã gửi 15-07-2017 - 08:41
Cho tam giác ABC đường tròn nội tiếp (I) tiếp xúc BC tại D, L đối xứng với D qua I. AL cắt BC tại K. Chứng minh BK=CD
Qua L kẻ đường thẳng song song với BC cắt AB,AC lần lượt tại E,F.
Gọi $r$ là bán kính đường tròn nội tiếp $\triangle{ABC}$.
Do $\widehat{LFC}+\widehat{DCF}=180^0\implies \widehat{FIC}=90^0$. Tương tự: $\widehat{EIB}=90^0$.
Khi đó dễ dàng chứng minh được: $LF.DC=EL.BD=r^2$ (do $\triangle{LFI}\sim \triangle{DIC}$,$\triangle{LEI}\sim \triangle{DIB}$).
$\implies \frac{EL}{LF}=\frac{DC}{BD}(1)$.
Mặt khác do $EF\parallel BC\implies \frac{EL}{LF}=\frac{BK}{KC}(2)$.
Từ $(1),(2)\implies \frac{BD}{DC}=\frac{KC}{BK}\implies \frac{BD}{BD+DC}=\frac{KC}{BK+KC}\iff \frac{BD}{BC}=\frac{KC}{BC}\iff BD=KC\implies Q.E.D$
- cristianoronaldo, duylax2412, AGFDFM và 1 người khác yêu thích
#3
Đã gửi 15-07-2017 - 10:50
Cho tam giác ABC đường tròn nội tiếp (I) tiếp xúc BC tại D, L đối xứng với D qua I. AL cắt BC tại K. Chứng minh BK=CD
Bài trên có thể viết lại như sau:
Cho $\triangle ABC$,$D,E$ là tiếp điểm của đường tròn nội tiếp $(I)$ và bàng tiếp $(J)$ góc $A$ với $BC$.$ID\cap (I)\equiv K$. Chứng minh: $A,K,E$ thẳng hàng.
Dễ thấy $AB,AC$ là tiếp tuyến của $(I),(J)$ nên $A$ là tâm vị tự ngoài của phép vị tự hai đường tròn trên.Ta có: $E,D$ đối xứng với nhau. Do đó, 2 điểm này tương ứng là hai điểm vị tự đường tròn $(I),(J)$.Theo phép vị tự tâm $A$ thì $A,K,E$ thẳng hàng.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NTMFlashNo1: 15-07-2017 - 10:53
- tritanngo99 và AGFDFM thích
$\boxed{\text{Nguyễn Trực-TT-Kim Bài secondary school}}$
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh