Chủ đề này có 4 trả lời

[cristianoronaldo]

$\boxed{\text{Bài toán}}$:

Cho x,y,z là độ dài ba cạnh tam giác. Chứng minh rằng:

$\frac{x+y-z}{\sqrt{z^2+(x-y)^2}}+\frac{y+z-x}{\sqrt{x^2+(y-z)^2}}+\frac{z+x-y}{\sqrt{y^2+(z-x)^2}}\geq \frac{(x+y+z)^2}{x^2+y^2+z^2}$

                                                                                                     

                                                                                                        $\boxed{\text{cristianoronaldo}}$ 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi cristianoronaldo: 22-07-2017 - 22:29

[Lovemath111]

Nhìn đề bài gợi ta sử dụng phép thế Ravi nhưng đoạn sau thì hơi khó một tí

[Nguyenhuyen_AG]

$\boxed{\text{Bài toán}}$:

Cho x,y,z là độ dài ba cạnh tam giác. Chứng minh rằng:

$\frac{x+y-z}{\sqrt{z^2+(x-y)^2}}+\frac{y+z-x}{\sqrt{x^2+(y-z)^2}}+\frac{z+x-y}{\sqrt{y^2+(z-x)^2}}\geq \frac{(x+y+z)^2}{x^2+y^2+z^2}$

 

Bất đẳng thức chặt hơn vẫn đúng

\[\frac{x+y-z}{\sqrt{z^2+(x-y)^2}}+\frac{y+z-x}{\sqrt{x^2+(y-z)^2}}+\frac{z+x-y}{\sqrt{y^2+(z-x)^2}} \geqslant 3.\]

[AnhTran2911]

Bất đẳng thức chặt hơn vẫn đúng

\[\frac{x+y-z}{\sqrt{z^2+(x-y)^2}}+\frac{y+z-x}{\sqrt{x^2+(y-z)^2}}+\frac{z+x-y}{\sqrt{y^2+(z-x)^2}} \geqslant 3.\]

Chứng minh sao ạ

[Nguyenhuyen_AG]

Chứng minh sao ạ

 

Anh tính nhầm một chỗ nên bất đẳng thức anh nêu ra bị sau, còn bài toán của bạn cristianoronaldo ta có thể chứng minh như sau

 

Dùng phép thế Ravi ta đưa bài toán về dạng

\[\sum \frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}} \geqslant \frac{\sqrt2(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca}, \quad \forall a,b,c > 0.\]

Bất đẳng thức này được suy ra từ hai đánh giá liên tiếp sau đây

\[\left(\sum \frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}\right)^2 \geqslant \frac{(a+b+c)^3}{\displaystyle \sum c(a^2+b^2)} \geqslant \frac{2(a+b+c)^4}{(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca)^2}.\]

Vế trái chính là bất đẳng thức Holder còn vế phải sau khi khai triển và thu gọn sẽ được một bất đẳng thức hiển nhiên $\sum a^4 \geqslant \sum b^2c^2.$