Trên mặt phẳng cho một số điểm được tô màu xanh và một số điểm được tô màu đỏ sao cho khoảng cách giữa $2$ điểm bất kỳ không vượt quá $1$ . Cmr có 1 hình tròn bán kính $\frac{1}{\sqrt{2}}$ chứa tất cả các điểm màu đỏ hoặc chứa tất cả các điểm màu xanh .
Điểm màu xanh , điểm màu đỏ
#1
Đã gửi 27-07-2017 - 17:31
#2
Đã gửi 27-07-2017 - 18:28
Gọi (O;R) là đường tròn có bán kính nhỏ nhất chứa tất cả các điểm màu đỏ
(O';R') là đường tròn cá bán kính nhỏ nhất chứa tất cả các điểm màu xanh
Không mất tổng quát giả sử $R< R^{'}$
Khi đó tất cả các điểm màu xanh không thể nằm trong (O;R) (vì nếu tất cả các điểm màu xanh nằm trong (O;R) thì sẽ tồn tại 1 đường tròn có bán kính nhỏ hơn R' chứa tất cả các diểm màu xanh mâu thuẫn)
nên tồn tại 1 điểm A nằm trên biên hay bên ngoài (O)
Vẽ (A;1) cắt (O) tại B và C
Do khoảng cách của 2 điểm bất kỳ nhỏ hơn 1 nên tất cả các điểm màu đỏ đều thuộc phần chung của (O) và (A)
Ta sẽ cm $R\leq \frac{1}{\sqrt{2}}$
xét 2 trường hợp
(A) đựng (O)
Ta có $R\leq \frac{1}{2}< \frac{1}{\sqrt{2}}$
(A) cắt (O)
Gọi B và C là giao của (O) và (A)
Ta sẽ cm $R\leq \frac{1}{\sqrt{2}}$
Thật vậy nếu $R> \frac{1}{\sqrt{2}}$
ta có
$OA^{2}+OB^{2}> 1=AB^{2}$
$\Rightarrow \widehat{BOA}< 90^{0}\Rightarrow \widehat{BOC}< 180^{0}$
$\Rightarrow BC< 2R$
suy ra đường tròn bán kính $\frac{BC}{2}$ có bán kính nhỏ hơn R chứa tất cả các điểm màu đỏ
vô lý
suy ra đpcm
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh