Bài 1: CMR
1.$A=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{1}}{1+2}+\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{2+3}+...+\frac{\sqrt{25}-\sqrt{24}}{24+25}<\frac{2}{5}$
2.$\frac{1}{2}+\frac{1}{3\sqrt{2}}+\frac{1}{4\sqrt{3}}...+\frac{1}{50\sqrt{49}}<2$
Bài 2:
1. Tìm a,b $\in$ Z thỏa mãn: $\frac{5}{a+b\sqrt{2}}-\frac{4}{a-b\sqrt{2}}+18\sqrt{2}=3$
2. Tính A=$\frac{\sqrt{4+\sqrt{3}}+\sqrt{4-\sqrt{3}}}{\sqrt{4+\sqrt{13}}}+\sqrt{27-10\sqrt{3}}$
3. Cho a,b,c thỏa mãn: $\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=7$; $a+b+c=3$; $\sqrt{abc}=3$
Tính H=$\frac{1}{\sqrt{ab}+\sqrt{c}-6}+\frac{1}{\sqrt{bc}+\sqrt{a}-6}+\frac{1}{\sqrt{ca}+\sqrt{b}-6}$
Mình có cách này không biết có được không
$\textrm{Bài 1}$ $\frac{\sqrt{a+1}-a}{a+a+1}<\frac{1}{2}.\frac{\sqrt{a+1}-a}{\sqrt{a(a+1)}}= \frac{1}{2}.(\frac{1}{\sqrt{a}}-\frac{1}{\sqrt{a+1}})$
$= \frac{1}{2}(\frac{1}{1}-\frac{1}{5})=\frac{2}{5}$
$2. \frac{1}{(a+1)\sqrt{a}}=\frac{\sqrt{a}}{(a+1)a}=\sqrt{a}(\frac{1}{(a+1)a})=\sqrt{a}(\frac{1}{a}-\frac{1}{a+1})=\sqrt{a}(\frac{1}{\sqrt{a}}-\frac{1}{\sqrt{a+1}})(\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{a+1}})=(\frac{1}{\sqrt{a}}-\frac{1}{\sqrt{a+1}})(1+\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a+1}})< 2(\frac{1}{\sqrt{a}}-\frac{1}{\sqrt{a+1}})$
đến đây trừ vào là được
$\boxed{\textrm{Bài 2}}$ Quy đồng lên ta được : $\frac{a-9b\sqrt{2}}{a^{2}-2b^{2}}+18\sqrt{2}=3\Leftrightarrow a-9b\sqrt{2}+18\sqrt{2}(a^{2}-2b^{2})=3(a^{2}-2b^{2})\Leftrightarrow a-\sqrt{2}(9b+18(2b^{2}-a^{2})=3(a^{2}-2b^{2})$
Mình nghĩ cái này là 28 chứ bạn
Vì a là số hữu tỉ , VP là số hữu tỉ -> $\sqrt{2}(9b+18(2b^{2}-a^{2}))$ là số hữu tỉ -> số trong ngoặc =0
đến đây giải PT nghiệm nguyên là được
Ta có : Bình phương phần màu xanh trên , ta được $\frac{8+2\sqrt{16-3}}{4+\sqrt{13}}=2$
-> phần bôi xanh trên =$\sqrt{2}$
$\sqrt{28-10\sqrt{3}}=\sqrt{25}-\sqrt{3}$
Bài 3 $\sum \frac{1}{\sqrt{ab}+\sqrt{c}+6}=\sum \frac{1}{\sqrt{ab}+1-\sqrt{a}-\sqrt{b}}=\sum \frac{1}{(1-\sqrt{a})(1-\sqrt{b})}$
đến đây bạn quy đồng lên là được
