Chủ đề này có 5 trả lời

[chuong4989]

Giải giúp mình bài tập này với

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chuong4989: 13-08-2017 - 19:32

[An Infinitesimal]

Giải giúp mình bài tập này với

 

Bạn đã hoàn thành ý nào rồi?

[An Infinitesimal]

Bạn đã hoàn thành ý nào rồi?

 

1/ Dễ thấy $ \{f_n(x)\}$ là dãy không giảm.

Nếu $x\in \mathbb{R}\setminus (0,1]$ thì  $f_n(x)=0$. Do đó $\lim f_n(x)= f(x).$

 

 

Nếu $x\in  (0,1]$ thì tồn tại $k\in \mathbb{N}$: $x\in A_k$. Khi đó, $f_n(x)=\sqrt{k} \forall n\ge k$. Do đó $\lim f_n(x)=sqrt{k}= f(x).$

Suy ra ĐPCM.

 

2/ Dùng định lý hội tụ đơn điệu cho hàm không âm $f$, ta có 

\[\int_{\mathbb{R}} fd\mu=\lim \int_{\mathbb{R}} f_nd\mu=\lim \sum_{n=1}^{\infty}\sqrt{n} \mu \left(A_n\right)= \lim \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}(n+1)}<\infty.\]

Suy ra ĐPCM.

 

3/ Dễ thấy $\{[f_n(x)]^2\}$ là dãy tăng hội tụ về  $[f(x)]^2$.

\[[f_n(x)]^2=\begin{cases} 0 \text{  if } x\in (0,1],\\ n\text{  if } x\in A_n. \end{cases}\]

Do đó, áp dụng định lý hội tụ đơn điệu cho hàm không âm $f^2$:

 

\[\int_{\mathbb{R}} fd\mu=\lim \int_{\mathbb{R}} f_n^2d\mu=\lim \sum_{n=1}^{\infty}n\mu \left(A_n\right)= \lim \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n+1}=\infty.\]

Suy ra ĐPCM.

[chuong4989]

Cám ơn anh

[chuong4989]

1/ Dễ thấy $ \{f_n(x)\}$ là dãy không giảm.
Nếu $x\in \mathbb{R}\setminus (0,1]$ thì $f_n(x)=0$. Do đó $\lim f_n(x)= f(x).$


Nếu $x\in (0,1]$ thì tồn tại $k\in \mathbb{N}$: $x\in A_k$. Khi đó, $f_n(x)=\sqrt{k} \forall n\ge k$. Do đó $\lim f_n(x)=sqrt{k}= f(x).$
Suy ra ĐPCM.

2/ Dùng định lý hội tụ đơn điệu cho hàm không âm $f$, ta có
\[\int_{\mathbb{R}} fd\mu=\lim \int_{\mathbb{R}} f_nd\mu=\lim \sum_{n=1}^{\infty}\sqrt{n} \mu \left(A_n\right)= \lim \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}(n+1)}<\infty.\]
Suy ra ĐPCM.

3/ Dễ thấy $\{[f_n(x)]^2\}$ là dãy tăng hội tụ về $[f(x)]^2$.
\[[f_n(x)]^2=\begin{cases} 0 \text{ if } x\in (0,1],\\ n\text{ if } x\in A_n. \end{cases}\]
Do đó, áp dụng định lý hội tụ đơn điệu cho hàm không âm $f^2$:

\[\int_{\mathbb{R}} fd\mu=\lim \int_{\mathbb{R}} f_n^2d\mu=\lim \sum_{n=1}^{\infty}n\mu \left(A_n\right)= \lim \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n+1}=\infty.\]
Suy ra ĐPCM.

[hoangson262]

 $\inline Cho $f$ là hàm liên tục. Tính giới hạn \lim_{n\to +\infty}n\int_0^{+\infty} \exp{-nx}f(x)dx có ra kết quả không ạ (nếu $f$ không bị chặn).$