Cho a,b,c>0 thỏa abc=1.CMR: $\frac{a+b+c}{3}\geq \sqrt[5]{\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{3}}$
$\frac{a+b+c}{3}\geq \sqrt[5]{\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{3}}$
#2
Đã gửi 21-08-2017 - 19:47
ta có bất đẳng thức cần cm tương đương với
(a+b+c)5/243>=(a2+b2+c2)/3
có (ab+bc+ca)2>=3(a+b+c)abc nên ab+bc+ca>=√(3(a+b+c)) (vì abc=1)
có a2+b2+c2=(a+b+c)2-2(ab+bc+ca)<=(a+b+c)2-2√(3(a+b+c))
ta cần chứng minh (a+b+c)5>=81(a+b+c)2-2.81√3(a+b+c)
đặt √3(a+b+c)=m ta cần chứng minh
x10/39+2x>=x4/9
áp dụng AM-GM cho 3 số ta có
x10/39+x+x>=x4/9
domình ko viết đc Latex
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi minhducndc: 21-08-2017 - 19:53
Đặng Minh Đức CTBer
#3
Đã gửi 21-08-2017 - 19:53
Bạn có thể đánh Latex được không.Mình nhìn mà không hiểu.
Sự khác biệt giữa thiên tài và kẻ ngu dốt là ở chỗ thiên tài luôn có giới hạn.
#4
Đã gửi 21-08-2017 - 19:58
hình như latex bị lỗi m đánh ko đc
Đặng Minh Đức CTBer
#5
Đã gửi 21-08-2017 - 20:22
#6
Đã gửi 21-08-2017 - 20:53
BĐT cần CM tương đương:$ \frac{(a+b+c)^{5}}{243}\geq \frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})}{3}$ với $abc=1$
$abc=1\Rightarrow 3abc(a+b+c)\leq (ab+bc+ca)^{2}\Rightarrow ab+bc+ca\geq \sqrt{3(a+b+c)}$
$a^{2}+b^{2}+c^{2}=(a+b+c)^{2}-2(ab+bc+ca)\leq (a+b+c)^{2}-2\sqrt{3(a+b+c)}$
Giờ cần chứng minh bất đẳng thức sau: $\frac{(a+b+c)^{5}}{81}\geq (a+b+c)^{2}-2\sqrt{3(a+b+c)}$ với $a+b+c \geq 3$
Đặt $t=a+b+c \geq 3$ thì ta có: $t^{5}-81t^{2}+162\sqrt{3t}\geq 0$
Áp dụng BĐT $Cauchy$ $t^{5}+81\sqrt{3t}+81\sqrt{3t}\geq 81t^{2}$(đpcm)
P/S:Mấy bác nhanh quá, đang coi Em của anh, đừng của ai thì có bạn giành rồi
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi slenderman123: 21-08-2017 - 20:55
- Duy Thai2002, duylax2412 và minhducndc thích
Nguyễn Văn Tự Cường - Trường THPT Chuyên LQĐ - Quảng Trị
#7
Đã gửi 22-08-2017 - 00:02
Cho a,b,c>0 thỏa abc=1.CMR: $\frac{a+b+c}{3}\geq \sqrt[5]{\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{3}}$
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với
\[f=(a+b+c)^5 - 81(a^2+b^2+c^2) \geqslant 0.\]
Ta có
\[f = \frac12 \sum (a^3+b^3+21c^3+2a^2b+2ab^2)(a-b)^2+5\sum c(a-b)^4 \geqslant 0.\]
- hanguyen445, Duy Thai2002 và slenderman123 thích
Ho Chi Minh City University Of Transport
#8
Đã gửi 22-08-2017 - 05:40
Anh làm kĩ thuật gì mà có thể phân tích ra như vậy.
Sự khác biệt giữa thiên tài và kẻ ngu dốt là ở chỗ thiên tài luôn có giới hạn.
#9
Đã gửi 22-08-2017 - 17:54
#10
Đã gửi 02-01-2018 - 11:31
Cho a,b,c>0 thỏa abc=1.CMR: $\frac{a+b+c}{3}\geq \sqrt[5]{\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{3}}$
Thật ra bài này còn cách khác nữa:
$\frac{a+ b+ c}{3}\geq \sqrt[5]{\frac{a^{2}+ b^{2}+ c^{2}}{3}}$
Bây giờ việc chúng ta cần làm là xử lí nhân tử abc theo a+ b+ c
Sử dụng một bất đẳng thức khác:
$\left ( ab+ bc+ ca \right )^{2}\geq 3abc\left ( a+ b+ c \right ),$
CM tương đương:
$a^{2}\left ( b- c \right )^{2}+ b^{2}\left ( c- a \right )^{2}+ c^{2}\left ( a- b \right )^{2}\geq 0$
Ta cần chứng minh bđt lớn hơn:
$\left ( a+ b+ c \right )^{6}\geq 27\left ( ab+ bc+ ca \right )^{2}\left ( a^{2} + b^{2}+ c^{2}\right )$
Đặt S= a+ b+ c, Q= ab+ bc+ ca, ta được:
$\left ( a+ b+ c \right )^{6}- 27\left ( ab+ bc+ ca \right )^{2}\left ( a^{2}+ b^{2}+ c^{2} \right ) = S^{6}- 27Q^{2}\left ( S^{2} -2Q\right ) = \left ( S^{2} - 3Q^{2}\right )^{2}\left ( S^{2}+ 6Q \right )\geq 0$
Bất đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a= b= c= 1
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DOTOANNANG: 02-01-2018 - 11:54
- nmtuan2001, INXANG, moriran và 1 người khác yêu thích
#11
Đã gửi 03-01-2018 - 13:15
Cho a,b,c>0 thỏa abc=1.CMR: $\frac{a+b+c}{3}\geq \sqrt[5]{\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{3}}$
Còn cách chứng minh khác nữa:
BĐT cần chứng minh tương đương với:
$abc\left ( a^{2}+ b^{2}+ c^{2} \right )\leq \frac{\left ( a+ b+ c \right )^{5}}{81}$
Điều này đúng vì:
$3abc\left ( a+ b+ c \right )\left ( a^{2}+ b^{2}+ c^{2} \right ) = 3\left [ \left ( ab \right )\left ( ac \right )+ \left ( bc \right )\left ( ca \right )+ \left ( ca \right )\left ( cb \right ) \right ]\left ( a^{2}+ b^{2}+ c^{2} \right ) \leq \left ( ab+ bc+ ca \right )^{2}\left ( a^{2}+ b^{2}+ c^{2} \right ) \leq \left ( \frac{ab+ bc+ ca+ ab+ bc+ ca+ a^{2}+ b^{2}+ c^{2}}{3} \right )^{3}= \frac{1}{27}\left ( a+ b+ c \right )^{6}$
- nmtuan2001, INXANG, moriran và 1 người khác yêu thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh