Chủ đề này có 1 trả lời

[blackwave]

Tính giới hạn sau: $\lim_{x\to \propto }{\frac{ln(n^{2}+3)}{ln(2n^{3}+\sqrt{n})}}$

[An Infinitesimal]

Tính giới hạn sau: $\lim_{x\to \infty }{\frac{\ln(n^{2}+3)}{\ln(2n^{3}+\sqrt{n})}}$

 

!!!! $x\to \infty$!!!!!

 

Tính giới hạn sau: $\lim_{n\to \infty }{\frac{\ln(n^{2}+3)}{\ln(2n^{3}+\sqrt{n})}}$

 

Lưu ý: $\ln\left(n^2+3\right)=\ln\left[n^2(\left(1+\frac{3}{n^2}\right)\right]= 2\ln n+\ln\left(1+\frac{3}{n^2}\right).$

 

 

\[\frac{\ln(n^{2}+3)}{\ln(2n^{3}+\sqrt{n})}= \frac{2\ln n+ \ln \left(1+\frac{3}{n^2}\right)}{3\ln n+\ln2+ \ln \left(1+\frac{1}{2n^2\sqrt{n}}\right)}=\dfrac{2+\frac{ \ln \left(1+\frac{3}{n^2}\right)}{\ln n}}{3+\frac{\ln 2}{\ln n}+\frac{ \ln \left(1+\frac{1}{2n^2\sqrt{n}}\right)}{\ln n}}\to \frac{2}{3} \text{ khi } n\to \infty.\]

 

Dùng kỹ thuật hàm số và quy tắc l'Hospital thì giới hạn trên có thể tính dễ dàng hơn!

 

Định lý:

Nếu $\lim_{x\to a} f(x)=L, L\in \mathbb{R}$, thì với mọi dãy $\{x_n\}$ sao cho $\lim x_n =a$, ta có $\lim_{n\to \infty} f(x_n)=L.$

 

Kết quả trên cũng đúng khi $a=\infty, a=-\infty.$

 

Trường hợp đặc biệt: $a=\infty, x_{n}=n \, \forall n\in \mathbb{N}$. Khi đó, nếu $\lim_{x\to \infty} f(x)=L, L\in \mathbb{R}$, thì $\lim_{n\to \infty} f(n)=L.$

 

Do đó, ta xét:

 

$\lim_{x\to \infty}\frac{\ln\left(x^2+3\right)}{\ln{\left(2x^3+\sqrt{x}\right)}}.$ Giới hạn này có thể tính dựa vào quy tắc l'Hospital.

Ở đây,  giới hạn này có dạng $\frac{\infty}{\infty}$. Ta bỏ qua việc kiểm tra điều kiện của Quy tắc l'Hospital. Giới hạn có thể tính như sau: 

\[\lim_{x\to \infty}\frac{\ln\left(x^2+3\right)}{\ln{\left(2x^3+\sqrt{x}\right)}}= \lim_{x\to \infty} \dfrac{\frac{2x}{x^2+3}}{\frac{6x^2+\frac{1}{2\sqrt{x}}}{2x^3+\sqrt{x}}}= \lim_{x\to \infty} \frac{2x(2x^3+\sqrt{x})}{(x^2+3)\left(6x^2+\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)}=\frac{2}{3}.\]

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi An Infinitesimal: 31-08-2017 - 20:29