5 replies to this topic

[tsudere]

Cho 3 số thực dương a,b,c thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}$ ≤ $\frac{3}{4}$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

 

$P=8abc+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}$

[minhducndc]

Từ điều kiện ta suy được $abc\leq \frac{1}{8}$                                                                                                                                                 Có$P= 8abc+\sum \frac{1}{a^{2}}= 32abc+\sum \frac{1}{a^{2}}-24abc$

Ap dụng bất đẳng thức Cauchy cho4 số dương ta có

$32abc+\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}\geq 4\sqrt[4]{32abc.\frac{1}{a^{2}b^{2}c^{2}}}= 4\sqrt[4]{\frac{32}{abc}}\geq 16$

Tương tự ta có $24abc\leq 3\Rightarrow -24abc\geq -3$

[tsudere]

Từ điều kiện ta suy được $abc\leq \frac{1}{8}$                                                                                                                                                 Có$P= 8abc+\sum \frac{1}{a^{2}}= 32abc+\sum \frac{1}{a^{2}}-24abc$

Ap dụng bất đẳng thức Cauchy cho4 số dương ta có

$32abc+\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}\geq 4\sqrt[4]{32abc.\frac{1}{a^{2}b^{2}c^{2}}}= 4\sqrt[4]{\frac{32}{abc}}\geq 16$

Tương tự ta có $24abc\leq 3\Rightarrow -24abc\geq -3$

Cho mình hỏi tại sao lại suy ra được $abc\leq \frac{1}{8}$   ạ

[bunhiaxcopki]

Từ điều kiện ta suy được $abc\leq \frac{1}{8}$                                                                                                                                                 Có$P= 8abc+\sum \frac{1}{a^{2}}= 32abc+\sum \frac{1}{a^{2}}-24abc$

Ap dụng bất đẳng thức Cauchy cho4 số dương ta có

$32abc+\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}\geq 4\sqrt[4]{32abc.\frac{1}{a^{2}b^{2}c^{2}}}= 4\sqrt[4]{\frac{32}{abc}}\geq 16$

Tương tự ta có $24abc\leq 3\Rightarrow -24abc\geq -3$

sao ra duoc $abc\leq \frac{1}{8}$

[minhducndc]

Có $\frac{3}{4}\geq a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq 3\sqrt[3]{a^{2}b^{2}c^{2}}\Rightarrow \sqrt[3]{a^{2}b^{2}c^{2}}\leq \frac{1}{4}\Rightarrow \sqrt[3]{abc}\leq \frac{1}{2}\Rightarrow abc\leq \frac{1}{8}$

[nguyen kd]

Cho mình hỏi tại sao lại suy ra được $abc\leq \frac{1}{8}$   ạ

 

sao ra duoc $abc\leq \frac{1}{8}$

${3 \over 4} \ge {a^2} + {b^2} + {c^2} \ge 3\root 3 \of {{{(abc)}^2}}  \Rightarrow {1 \over {64}} \ge {(abc)^2} \Rightarrow {1 \over 8} \ge abc$